6.3. Обчислення об’ємів тіл.

1. Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом(перетином).

Розглянемо деяке тіло , об’єм V якого хочемо знайти (рис. 6.14). Переріз тіла площиною , перпендикулярною до осі Ох, називають поперечним перерізом (перетином). Нехай нам відома площина S будь - якого поперечного перерізу.

Рисунок 6.14

Очевидно, що ця площа залежить від положення січної площини, тобто є функцією від x: S=S(x), де S(x) - неперервна на відрізку функція. Абсциси крайніх перерізів відповідно x=a, x=b . Обидва ці перерізи (або один із них) можуть бути точками. Для обчислення об’єму V тіла поступимо так: розібємо відрізок на n частин точками a=x₀<x₁<x₂<...<x_n-1<x_n=b. Через кожну точку поділу проведемо січну площину x=x_i (i=1,2,...,n-1), перпендику-лярну до осі Ох. Ці площини розіб’ють тіло на n частин (слоїв) (рис.15 a). Позначимо об’єм слоя, що міститься між площинами x=x_i-1 i x=x_i через V_i. Тоді об’єм тіла

V=V₁+V₂+...+V_n= V_i

Розглянемо один із слоїв (рис.15 б). Його об’єм V_i наближено дорівнює об’єму прямого циліндра з висотою h_i=x_i =x_i-x_i-1, основа якого співпадає з поперечним перерізом тіла, що відповідає деякій абсцисі c_i, де і має площу S(c_i). Отже, V_i  S(c_i)  x_i.

Для обєму нашого тіла дістаємо наближену рівність:

 S(c_i)  x_i .

a) б)

Рисунок 6.15

Точність цієї рівності збільшується зі зменшенням кроку розбиття відрізка . Отже , точне значення об’єму

V = S(a)  x_i , (6.12)

де d=max x_i .

Оскільки функція S(x) неперервна , то існує скінченна границя (6.12) . Її називають об’ємом тіла . Зваживши на означення (4.5) визначеного інтегрела , дістанемо формулу.

V = S(x) dx , (6.13)

за якою обчислюється об’єм тіла.

Приклад. Знайти об’єм еліпсоїда

(рис. 6.16)

Рисунок 6.16

Розв’язання. Поперечні перерізи еліпсоїда є еліпсами , рівняння яких

.

Зрозуміло , що півосі еліптичного пеперізу площиною х=х рівні відповідно і . Відомо, що площа еліпса з півосями b і с обчислюється за формулою S=bc. Отже, площа будь - якого поперечного перерізу дорівнює S(x)= b(x) c(x) .

За формулою (6.2) знаходимо

.

Зауважимо, що при а=b=с=R еліпсоїд вироджується на кулю, об’єм якої .

2. Об’єм тіла обертання .

Для тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x), x=a; x=b; y=0 (рис.6.17) маємо S(x)=y²=f ²(x) .

Рисунок 6.17

Згідно з формулою (6.13) знаходимо

(6.14)

Анологічно при обертанні відповідної трапеції навколо осі Оу

(6.15)

У цьому переконайтесь самі .

Зрозуміло, що формула (6.13) є більш загальною, ніж (6.14), оскільки за формулою (6.13) можна обчислити не лише об’єм тіла обертання.

Приклад. Знайти об’єм тіла, яке описується обертаням навколо осі криволінійної трапеції, обмеженої лініями y²=x, x=H (рис.6.18).

Рисунок 6.18

Розв’язання. За формулою (6.14) знаходимо

Формула (6.14) узагальнюється на випадок тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, обмеженої лініями y=f(x); y=q(x); x=a; x=b , при- чому f(x) q(x) 0 для всіх xa;b (рис. 6.19).

Рисунок 6.19

Обєм такого тіла обчислюється за формулою

(6.16)

Цю формулу читачеві пропонується встановити самостійно.

Приклад. Обчислити об’єм V тіла, яке утворюється обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями

y=x² i x=y² (рис.6.20).

Рисунок 6.20

Розв’язання.Точками перетину ліній y=x² i x=y² (обидві лінії параболи) є точки з абсцисами x=0, x=1. Тому, скористав-шись формулою (6.16), матимемо