Тем № 5.2. Средние величины и показатели вариации (4 часа)

1. Понятие о средних величинах

2. Средняя арифметическая и ее свойства

3. Другие виды степенных средних

4. Структурные средние

5. Показатели вариации

6. Правило сложения дисперсий

7. Вариация альтернативного признака

Вопрос 1. Понятие о средних величинах

Средняя величина — это обобщающая количественная характери­стика совокупности однотипных явлений по одному варьирующему признаку.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она представляет значение определенного признака во всей совокупности одним числом, несмотря на количественные различия его у отдельных единиц совокупности, и выражает то общее, что присуще всем единицам изучаемой совокупности.

Средние величины объединяются в общей формуле сред­ней степенной (при различной величине с):

где х_i - i-й вариант рассматриваемого признака ;

f_i – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака

c – показатель степени средней

В зависимости от значения показателя степени различают следующие виды степенных средних:

1. при - средняя гармоническая

2. при - средняя геометрическая

3. при - средняя арифметическая

4. при - средняя квадратическая

5. при - средняя кубическая

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше показатель степени средней величины, тем больше ее значение, т.е.:

Это свойство степных средних возрастать с повышением показателя степени называется в статистике правилом мажорантности средних.

Вопрос 2. Средняя арифметическая и ее свойства

Наиболее распространенным видом степенных средних величин является сред­няя арифметическая, которая, как и все средние, в зависимости от ха­рактера имеющихся данных может быть простой или взвешенной.

Средняя арифметическая простая использу­ется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

Средняя арифметическая взвешенная используется, если в изучаемой совокупности отдельные значения осредняемого признака могут повторяться, встречаться по нескольку раз. В подобных случаях расчет сред­ней производится по сгруппированным данным.

Расчет средней арифметической взвешенной производится по формуле:

В отдельных случаях веса могут быть представлены не абсолют­ными величинами, а относительными (в процентах или долях еди­ницы).

Средняя арифметическая об­ладает некоторыми математическими свойствами:

1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие частоты ( i-й группы):

2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю:

3. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится или увеличится на ту же величину:

Вопрос 3. Другие виды степенных средних

Средняя гармоническая простая – это обратная к средней арифметической из обратных значений признаков. Ее вычисляют, когда необходимо осреднение обратных индивидуальных значений признаков путем их суммирования. Эта форма средней имеет следующий вид:

Средняя гармоническая взвешенная вычисляется тогда, когда известны данные об общем объеме признака, а также индивидуальные значения признака, неизвестной является лишь частота.

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда объем совокупности формируется не суммой, а произведением индивидуальных значений признаков. Этот вид средней используется для вычисления средних коэффициентов роста в рядах динамики.

Средняя геометрическая простая выглядит следующим образом:

Соответственно средняя геометрическая взвешенная приобретает следующее выражение:

Средняя квадратическая используется для определения показателей вариации признака – дисперсии и среднего квадратического отклоненияю

Формула средней квадратической простой имеет следующий вид:

А средняя квадратическая взвешенная: