9 1Й курс. 2й семестр. Лекция 4
Лекция 4. Закон сохранения энергии в механике.
Работа и кинетическая энергия. Консервативные силы. Работа в потенциальном поле. Потенциальная энергия тяготения и упругих деформаций. Связь между потенциальной энергией и силой. Закон сохранения энергии.
Рассмотрим движение материальной точки в некоторой инерциальной системе отсчета. Второй закон Ньютона имеет вид:
.
Вектор скорости точки
направлен по касательной к траектории.
Поэтому вектор малого перемещения точки
тоже направлен по касательной к траектории
(dt – малый промежуток
времени). Умножим скалярно уравнение
движения на вектор малого перемещения
и проинтегрируем вдоль пути:
.
Преобразуем левую часть равенства.
.
Кинетической энергией
материальной точки массы
m,
которая движется скоростью v,
называется величина
.
Кинетическая энергия материальной
точки – это энергия её механического
движения.
Единицы измерения кинетической энергии
– Дж (Джоуль). Иногда кинетическую
энергию полезно выразить через импульс
тела (
):
.
Преобразуем правую часть равенства.
Элементарной
работой
постоянной
силы
,
действующей на материальную точку, при
малом перемещении
точки приложения силы называется
скалярное произведение
на
:
где - угол между вектором силы и вектором перемещения. Единицы измерения работы – Дж (Джоуль).
Работу величиной в один Джоуль совершает постоянная сила в 1 Ньютон, совпадающая по направлению с перемещением длиной 1 метр.
Работа переменной силы:
,
где элементарное перемещение
,
а сила
в общем случае может быть результирующей
нескольких сил.
Итог.
Приравняем правую и левую части равенства:
или
с учётом приведённых преобразований:
.
Таким образом была доказана теорема об изменении кинетической энергии. Приращение кинетической энергии материальной точки при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех сил, действующих на нее на том же перемещении.
Мощность силы.
Средней мощностью силы называется отношение работы этой силы к интервалу времени, за который была совершения эта работа:
.
Единицы измерения мощности Вт (Ватт); мощность силы в 1 Вт соответствует работе в 1 Дж, совершаемой силой за 1 секунду.
Мгновенной мощностью силы называется мощность этой силы за малый промежуток времени:
,
где - вектор скорости точки.
Следствие. Если в каждый момент
времени
,
то работа данной силы равна нулю.
Кинетическая энергия твердого тела,
вращающегося вокруг неподвижной оси.
В случае вращения твёрдого тела величина
скорости вращения любой точки вокруг
оси равна
,
где
- расстояние от этой точки до оси вращения,
поэтому суммарная кинетическая энергия
всех точек равна:
,
где
- момент инерции тела относительно оси
вращения.
Рассмотрим уравнение динамики вращательного движения твердого тела вокруг оси z:
.
Умножим левую и правую части этого
уравнения на малый угол
:
Преобразуем левую часть равенства
(учтём, что малый угол поворота
):
.
Если рассмотреть поворот на конечный
угол
,
то получим:
,
откуда
.
Слева стоит выражение для приращения
кинетической энергии вращающегося
тела, а справа - выражение для работы
внешних сил при повороте твёрдого тела
на конечный угол
.
Таким образом, если известен момент
внешних сил
относительно оси вращения z,
то работа этих сил при повороте тела
вокруг оси вычисляется по формуле:
.
А мгновенная мощность сил:
.
Замечание. Если малый угол поворота
задать в векторном виде
,
то выражение для работы и мощности при
вращательном движении можно записать
следующим образом:
,
.
КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ТЕЛА (СИСТЕМЫ ТОЧЕК).
Рассмотрим систему движущихся точек. Кинетическая энергия системы - это суммарная энергия всех точек:
.
Скорость каждой точки можно представить
в виде:
,
где
- скорость центра масс системы (одинаковая
для всех точек системы),
- относительная скорость точки (в системе
отсчета, где центр масс покоится). Тогда
.
В правой части равенства слагаемые имеют следующий физический смысл:
- кинетическая энергия центра масс
системы;
- кинетическая энергия относительного
движения точек;
,
но
,
где
- относительная скорость центра масс в
системе отсчета, где центр масс покоится.
Очевидно, что
,
поэтому для этого слагаемого получаем:
.
Окончательно исходное равенство примет вид:
Полная кинетическая энергия тела (системы точек) равна сумме кинетической энергии той же системы в её движении относительно системы центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая систем, двигаясь поступательно со скоростью её центра масс.
Это утверждение принято называть теоремой Кёнига. Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твёрдого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс.
Пример. Определить кинетическую энергию диска массой m и радиуса R, катящегося без проскальзывания со скоростью .
Решение. Так как диск катится без проскальзывания, то скорость центра масс равна и величина скорости вращения точек края диска относительно оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости диска, тоже равна v. Следовательно, полная кинетическая энергия:
.
При вращении диска вокруг центра масс
угловая скорость всех точек равна
,
поэтому кинетическая энергия вращения
.
Момент инерции диска относительно
рассматриваемой оси вращения равен
.
Тогда кинетическая энергия в поступательном
движении со скоростью центра масс диска
равна
.
Следовательно
.