1.4. Хроматичні аберації

1.4.1 Дисперсія скла. Оптичні матеріали

Для переважної більшості оптичних матеріалів, що застосовуються в оптичних системах, характерним є зростання показника заломлення зі зменшенням довжини хвилі падаючого випромінювання — нормальна дисперсія.

У випадку оптичних приладів, призначених для візуальних спостережень, використовують кілька стандартних довжин хвиль, які співвідносять з видимим випромінюванням (400-800 нм).

Показник заломлення n_D на довжині хвилі = 589,3 нм (середнє значення довжини хвилі дуплету жовтих ліній натрію) називається основним показником заломлення.

Мірою дисперсії оптичного матеріалу є середня дисперсія:

 n = n_F -n_C, (5.4)

де n_F — показник заломлення для випромінювання з довжиною хвилі _F = 486,1 нм (синя лінія водню, F), а n_C показник заломлення для випромінювання з _С= 656,3 нм (червона лінія водню, C).

Марка скла	Назва	nD	D
ЛК6	Легкий крон	1,47214	66,69
К8	Крон	1,51829	63,83
БК6	Баритовий крон	1,54214	59,38
ТК14	Важкий крон	1,61551	60,34
ТК16	Важкий крон	1,61519	58,09
ТК21	Важкий крон	1,65996	50,805
Ф1	Флінт	1,61688	36,70
ТФ1	Важкий флінт	1,65219	33,62
ТФ4	Важкий флінт	1,74623	27,90
ТФ10	Важкий флінт	1,81377	25,17

Таблиця № 1.

Більш повно характеризує дисперсійні властивості оптичних матеріалів відносна дисперсія:

(5.5)

Величину, обернену відносній дисперсії, називають коефіцієнтом дисперсії, або числом Аббе:

(5.6)

Для розв’язання завдань, пов’язаних із конструювання оптичних систем, було створено велику кількість марок оптичного скла, які відрізняються між собою як величинами основного показника заломлення, так і числом Аббе. Цього вдалося досягти спеціальною технологією виготовлення скла із кремнезему SiO₂ із домішками оксидів металів — калію, магнію, алюмінію, фосфору, свинцю тощо. У таблиці 1 наведено основні марки стекол і їх характеристики.

1.4.2 Типи хроматичної аберації

Хроматична аберація (від грец. — колір) спричинена залежністю показника заломлення середовища (лінзи) від довжини хвилі падаючого випромінювання. У випадку нормальної дисперсії показник заломлення зростає із зменшенням довжини хвилі. Тобто фіолетові промені заломлюються більше, ніж червоні, як наслідок, фокусні відстані однієї і тієї ж лінзи для різних довжин хвиль відрізняються (навіть для параксіальних променів!).

І снують три основні прояви хроматизму. Нехай до оптичної системи надходить випромінювання трьох довжин хвиль. Тоді оптична система внаслідок залежності показника заломлення від довжини світлової хвилі може утворити три монохроматичні зображення для цих трьох довжин хвиль, розташовані на різних відстанях від оптичної системи, але однакового розміру.

Аберація, за наявності якої положення зображень, утворених променями різних довжин хвиль, залежить від довжини світлової хвилі, називається хроматичною аберацією положення — хроматизм положення (рис. 7).

Хроматична аберація положення пропорційна відносному отвору і проявляється в неможливості сфокусувати промені різного кольору в усіх точках фокальної площини одночасно. За наявності хроматизму положення зображення може бути точковим лише для однієї довжини хвиль даного спектрального діапазону; решта променів у цій площині утворюють кружечки розсіювання, які мають забарвлення, що відповідають даним довжинам хвиль. Кружечки розсіювання накладаються один на одного і нескомпенсоване забарвлення залишається лише на краю плями розсіювання.

Кількісно характеризують хроматизм положення величиною поздовжньої хроматичної аберації (рис. 7).

(5.7),

де , — відстані від заломлюючих поверхонь до відповідних точок зображення. Слід зауважити, що радіус кружечка розсіювання, спричиненого хроматизмом у 2 F/D рази менший величини поздовжнього хроматизму.

Наступною хроматичною аберацією є хроматична аберація збільшення (хроматизм збільшення), яка проявляється в тому, що розмір зображення залежить від довжини світлової хвилі, тобто збільшення оптичної системи є функцією довжини світлової хвилі.

У наслідок різниці в розмірах отримуваного зображення об'єкта для різних довжин хвиль, зорі, розміщені поза оптичною віссю, виглядатимуть як невеликі спектри, витягнуті в радіальному напрямі. Розміри спектрів пропорційні відстані від оптичної осі (тобто куту нахилу променя ).

Розглянуті типи хроматичних аберацій проявляються у близьковісній області, тому такі аберації називають хроматичними абераціями першого порядку.

Насправді обидві хроматичні аберації першого порядку найчастіше існують одночасно, і їх поділ на два типи має сенс лише тоді, коли одна з них переважає іншу і геометричними абераціями можна знехтувати.

Справжні оптичні системи працюють із широкими пучками променів, які мають значний нахил до оптичної осі. Тому зображення предмета буде спотворене геометричними абераціями, які також залежать від довжини світлової хвилі, оскільки хід реальних променів визначається законом заломлення, до якого входить показник заломлення. Отже, розрізняють третій тип хроматичних аберацій, які пов’язані із залежністю геометричних аберацій від довжини світлової хвилі.

Хроматичними різницями геометричних аберацій називають різниці геометричних аберацій, обчислені для різних довжин хвиль даного спектрального інтервалу. Прикладом таких аберацій є сферохроматизм.

Сферохроматична аберація (сферохроматизм) — це похибка зображення осьової точки, створюваного далековісними променями різних довжин хвиль, яка виникає внаслідок того, що сферична аберація для різних довжин хвиль неоднакова.

Мірою сферохроматичної аберації є різниця поздовжніх сферичних аберацій для граничних довжин хвиль даного інтервалу:

(5.8),

тому ця аберація ще називається хроматичною різницею сферичних аберацій. Чим менша ця різниця, тим чіткіше отримуване зображення.

З досвіду розрахунків оптичних систем відомо, що одночасне виконання двох умов — відсутності сферичної аберації й відсутності сферохроматизму для всіх падаючих променів, виявляється неможливим.

Зупинимося на сутності механізму усунення хроматичної аберації дещо докладніше. Для цього визначимо зміну оптичної сили лінзи із зміною показника заломлення.

Продиференціювавши формулу оптичної сили тонкої лінзи

(5.9),

отримаємо:

(5.10)

Комбінуючи (5.10) і (5.9), маємо:

(5.11)

Ця рівність у кінцевих різницях буде дорівнювати:

 (5.12).

Порівнявши (5.4), (5.5) і (5.12), можна зробити висновок, що хроматизм оптичної сили (і фокусної відстані), а відповідно і хроматизм положення визначається числом Аббе.

Число Аббе показує, яку частину фокусної відстані лінзи складає поздовжній хроматизм. Наприклад, поздовжній хроматизм будь-якої лінзи зі скла флюориту ( = 95) складає: 1/95 × F = 0,0105 × F або 1,05% фокусної відстані. Кутовий радіус абераційного кружка розсіювання дорівнює:

Д ля флюориту:

Відомо, що оптична сила системи двох лінз, що дотикаються, дорівнює:

Ф = Ф₁ + Ф₂ (5.13)

Диференціюючи, отримаємо:

dФ = dФ₁ + dФ₂ (5.14)

Використавши вираз (5.12), отримаємо умову ахроматизації системи з двох лінз.

Звідки

(5.15)

Проаналізувавши (5.15), можна зробити висновок, що ахроматизація (усунення хроматизму положення) дволінзової системи з’єднаних лінз можлива при одночасному виконанні двох умов:

• одна з лінз повинна бути додатною, а друга — від’ємною;

• лінзи повинні бути виготовлені зі скла різних марок ( ).

Отримана рівність забезпечує ахроматизацію лише для двох ліній спектра. Оптична система із суміщеними фокусами двох довжин хвиль називається ахроматизованою, а такі об’єктиви — ахроматами.

Ахроматизація для візуальних спостережень (телескопи) розраховується таким чином, що збігаються фокуси червоних і синіх променів (  = 656,3 нм і = 486,1 нм); ахроматизація систем призначених для фотографування (фотографічні об'єктиви), виконується з розрахунку збігу фокусів для  = 434,1 нм і = 589,3 нм. Загалом для будь-якої іншої довжини хвилі падаючого випромінювання ахроматизація відсутня. Залишкова хроматична аберація положення для всіх інших довжин хвиль називається вторинним спектром.

Об'єктиви, в яких ахроматизація виконується для трьох довжин хвиль, за умови відсутності хроматичної різниці сферичної аберації, називають  апохроматами. Умова апохроматизації може розглядатися як двократна ахроматизація.

Якщо ж оптична система має дві лінзи, розташовані на малій відстані одна від одної, то в такій дволінзовій розклейці два радіуси кривини можна обрати, виходячи з умови усунення двох геометричних аберацій. Тобто, у дволінзовій розклейці можна виправити три аберації (!)— дві геометричні та одну хроматичну.

З розглянутих фізичних основ семи найголовніших видів аберацій можна зробити висновок, що повне виправлення всіх недоліків в оптичній системі може бути дуже складним і, навіть неможливим. Тому на практиці ідуть на компроміс, при розрахунку оптичних систем виправляють систему лише на ті аберації, які для досягнення даної мети неприпустимі, а інші залишають.