1.2 Критерій Релея

У практичній оптиці розраховують і виготовляють оптичні системи таким чином, щоб їх аберації не перевищували певну межу, яку пов'язують із розмірами дифракційного зображення (оскільки дифракцію усунути принципово неможливо). Дж. Релей довів, що у випадку, коли утворювана оптичною системою хвильова поверхня повністю розміщується між двома сферами, відстань між якими /4 ( ― діюча довжина хвилі), то зображення залишається близьким, до утворюваного безабераційною системою (критерій Релея). Ця умова може бути застосована як для розрахунку допустимих аберацій, так і для оцінки якості обробки оптичних поверхонь (лінз і дзеркал). У випадку дзеркал потрібно враховувати, що похибка подвоюється, оскільки кут відбивання дорівнює куту падіння, тому критерій Релея дорівнює — /8 . Підсумуємо вимоги до якості обробки поверхонь елементів оптичних систем:

1. дзеркало — точність обробки поверхні складає 1/8 ;

2. два дзеркала — точність обробки поверхні складає 1/16 для кожного;

3. лінзи — точність обробки поверхні складає 1/4 ;

4. дволінзовий об'єктив (не склеєний) — точність обробки поверхні складає 1/8 ;

5. дволінзовий об'єктив (склеєний) — точність обробки поверхні складає 1/4 .

Оптична система, що задовольняє критерій Релея, називається першокласною.

1.3. Геометричні аберації

а) сферична аберація

Сферична аберація проявляється у несуміщенні головних фокусів променів, які проходять через оптичну систему на різних відстанях від головної оптичної вісі. Фокус параксіальних променів, що поширюються через центральну зону системи h₀ h₁ (рис. 1), розміщується в гауссовій площині (ГП); фокуси променів інших кільцевих зон (h₂, h₃, h₄) розміщуються ближче до гауссової площини для збиральної (додатної) і далі для розсіювальної (від'ємної) системи. Це зумовлено більшою оптичною силою країв лінзи (або дзеркала) ніж необхідно, щоб звести паралельний пучок променів у точку.

Величина сферичної аберації, як правило, залежить від кривини поверхонь лінзи, товщини лінзи й збільшення при якому вона застосовується, а також від того, якою поверхнею розміщена несиметрична лінза. Унаслідок впливу сферичної аберації зображення, побудоване параксіальним пучк ом променів на перпендикулярному оптичній осі екрані, має вигляд кружечка з нерівномірним освітленням. При переміщенні екрана вздовж оптичної осі розміри кружка розсіювання й розподіл освітленості в ньому змінюється. Для певного положення екрана (площина найкращого наведення) розмір кружка мінімальний (менший ніж в ГП ~ 4 рази). Тобто, розміри кружечка розсіювання, зумовленого сферичною аберацією, можна зменшити раціональним розміщенням площини зображення.

Розрізняють поздовжню й поперечну сферичну аберацію. Поздовжня сферична аберація характеризується довжиною відрізка , що відраховується від гауссової площини до головного фокусу променів, які пройшли крізь крайню зону оптичної системи. Зрозуміло, що поздовжня сферична аберація є функцією відстані від оптичної осі до точки падіння променя на оптичну систему  = f(h). Ця залежність представляється графічно у вигляді характеристичної кривої, що є квадратною параболою (рис. 1).

Мірою поперечної сферичної аберації є радіус кружечка розсіювання _C в гауссовій площині, що визначається променями, які поширюються від крайньої зони. Максимальна поперечна сферична аберація, для даного об'єктива, пропорційна кубу відносного отвору:

(F = 1) (5.1)

Поздовжня й поперечна сферична аберація пов'язані між собою співвідношенням:

, (5.2)

де — кут між оптичною віссю й променем, що вийшов з крайньої зони лінзи. Так, астрономічний об’єктив із діаметром 80 мм та фокусною відстанню 720 мм має максимальне значення = - 0,011 мм.

Як зазначалося вище, сферична аберація збірної та розсіювальної лінзи протилежна за знаком для всіх зон, тому, комбінуючи ці лінзи, можна майже повністю усунути сферичну аберацію об'єктива. При цьому повної компенсації досягають лише для деяких променів, які поширюються на певній висоті від оптичної осі.

Якщо лінзу або дзеркало задіафрагмувати (змінити відносний отвір), то сферична аберація суттєво зменшиться. Наприклад, для сферичного дзеркала такий відносний отвір дорівнює:

Для одиночних лінз із сферичними поверхнями сферичну аберацію можна зменшити, підібравши оптимальне співвідношення радіусів кривини поверхонь. Якщо показник заломлення матеріалу лінзи дорівнює n = 1,5, сферична аберація буде мінімальна за умови, коли відношення радіусів кривини рівне 1/6.

Ефективним є також використання оптичних елементів з асферичними поверхнями. Для лінз це досягається шляхом ретушування країв, у випадку дзеркала ― використанням параболічної відбиваючої поверхні.

 б) кома

Рис. 1. Кома

Аберація коми ( від грец. kómĕ —пучок волосся) характерна лише для широких похилих пучків променів і пов'язана з порушенням симетрії заломленого пучка відносно променя, що проходить крізь центр зіниці. Тому кружечок розсіювання залишається симетричним лише відносно одного (меридіонального) напряму, відносно іншого (сагітального) ― симетрія порушується.

Площину, яка проходить через головний промінь світлового пучка і головну оптичну вісь, називають меридіональною (від лат. mersdsonalis — полуденний), а площину, що проходить через головний промінь і перпендикулярна до меридіональної площини, ― сагітальною (від лат. sagita — стріла).

Внаслідок впливу розглядуваної аберації зображення зорі матиме вигляд розмитої витягнутої плями кометоподібної форми, що являє собою неперервну сукупність кружечків, радіуси яких збільшуються (рис. 2). Яскравість усередині плями спадає обернено пропорційно квадрату відстані від вістря. Кут загострення вістря рівний 60⁰. Ширина коми – 2 , довжийа – 3 , для лінзи й дзеркал:

( F=1), (5.3)

де — кут нахилу головного променя пучка до оптичної вісі. В лінзових системах вістря коми напрямлене до головної оптичної вісі, а в дзеркальних, як правило, навпаки від неї.

Аберація коми відсутня для головного променя, тобто променя, який проходить через центр вхідної зіниці.

Оскільки кома пропорційна квадрату відносного отвору, то діафрагмуючи об’єктив у два рази, ми зменшуємо кому у чотири рази.

Виправлення коми досягається попереднім розрахунком радіусів кривини поверхонь оптичної системи або розрахунком положення вхідної зіниці. Для сферичних дзеркал кома виправлена, якщо вхідна зіниця розміщується у площині, що проходить через центр кривини дзеркала.

Оптична система, в якій виправлені кома та сферична аберація, називається апланатичною, а об'єктив — апланатом.

в) астигматизм

Якщо сферична аберація і кома в оптичній системі виправлені, проявляє себе наступна за величиною геометрична аберація ― астигматизм (від грец. а — заперечувати і stigmê — точка). Виявляється, що фокуси (m, S) скісного пучка променів у меридіональній та сагітальній площинах не збігаються (рис 4,5). Як наслідок, зображення точкового джерела L у фокусі m буде розтягнуто у відрізок прямої, перпендикулярний сагітальній площині, а у фокусі S зображення джерела знову буде відрізком прямої, але вже перпендикулярним до меридіональної площини. У проміжку між m і S зображення точки буде серією еліпсів різної орієнтації. Найменші розміри в цій серії має круг, розміщений посередині між m і S.

Виникнення астигматизму зумовлене неоднаковою кривиною оптичної поверхні для різних площин перетину падаючого світлового пучка.

З мінюючи кут нахилу пучка променів до оптичної осі, можна переконатися, що геометричним місцем фокусів меридіональних і сагітальних променів будуть дві поверхні, які відхиляються від площини Гаусса та в першому наближенні є параболоїдами. Відстань між двома поверхнями вздовж центрального променя пучка називається астигматичною різницею, яка є мірилом астигматизму (рис. 4, 5).

Явище астигматизму проявляє себе на значних відстанях від оптичної осі (навіть у системах із малою світлосилою), бо астигматична різниця пропорційна першому ступеню світлосили й квадрата кута нахилу  пучка падаючих променів до оптичної осі.

В оптичній системі, виправленій на астигматизм, меридіональний та сагітальний параболоїди збігаються і предметні точки плоского об’єкта, перпендикулярного до оптичної вісі, зображаються точками, але зображення предмета розміщено на поверхні другого порядку, яка має деяку кривину. Ця поверхня називається поверхнею Пецваля, і вона є параболоїдом обертання.

Астигматизм оптичної системи можна усунути підбором радіусів кривини заломлюючих поверхонь та положенням вхідної зіниці. Астигматизм сферичного дзеркала виправляється розташуванням вхідної зіниці у центрі кривини дзеркала. Таке положення вхідної зіниці також дає змогу позбутися аберації коми.

Об'єктив з усунутим астигматизмом називають анастигматом.

г) кривина поля

Кривина поля є наслідком астигматичності скісних пучків променів. Як зазначалося вище, із зростанням кута нахилу пучка променів астигматична різниця зростає, а сагітальний і меридіональний фокуси віддаляються від площини Гауса. Відповідно, із віддаленням від головної оптичної осі найбільш якісне зображення розміщується не в площині Гауса, а на параболоїді обертання (М) — поверхня Пецваля,— що дотникається площини Гауса в точці перетину її з оптичною віссю (рис. 5). На поверхні якісних зображень (поверхня Пецваля) усі точки предмета мають вигляд кружечків однакового діаметра. Отже, у площині Гауса чітке зображення всіх точок простору предметів одержати неожливо.

Як і астигматизм, кривина поля пропорційна світлосилі й квадрату кута нахилу пучка променів до оптичної осі.

Докладні розрахунки дають змогу зробити висновок, що лінза, у якої радіуси кривини однакові (рівнокривинний меніск), має плоску поверхню зображень.

Ефективний спосіб усунення впливу кривини поля полягає у використанні приймачів випромінювання (фотоплівок, фотопластинок), форма поверхні яких наперед викривлена відповідно до кривини поля об'єктива. Наприклад, у параболічного дзеркала фокальна поверхня має сферичну форму з радіусом кривини, що дорівнює фокусній відстані дзеркала.

д ) дисторсія

Дисторсія (від лат. distorsio — викривлення)—  аберація, що проявляється в порушенні подібності предмета і його зображення. Причина виникнення дисторсії у неоднаковому поперечному лінійному збільшенні для різних областей площини зображень. Тому пряма лінія, що не проходить через оптичну вісь зображається у вигляді дуги. На противагу іншим абераціям, дисторсія не впливає на чіткість вображення.

Якщо лінійне збільшення з віддаленням від оптичної вісі зростає, то маємо додатню  (подушкоподібну) дисторсію, якщо ж зменшується, то від'ємну  (бочкоподібну) (рис. 6).

Зображення зірок дисторсія не спотворює, але їх положення зміщуються вздовж прямої, що з'єднує центр поля зору з точкою, в якій було б зображення при використанні ідеального об'єктива.

Оптична система з виправленою дисторсією називається ортоскопічною. Зауважимо, параболічні й сферичні дзеркала взагалі вільні від дисторсії. Вільна від дисторсії також тонка лінза, якщо вхідна зіниця (діафрагма) суміщена з лінзою.