Тема 3. Рівновага рідини при відносному спокої

3.1 Теоретичні положення

При рішенні завдань на відносний спокій рідини необхідно вміти:

1. визначати форму поверхонь рівного тиску, використовуючи проекції масових сил на координатні осі.

2. одержувати закон розподілу тисків уздовж обраних осей координат.

3. формулювати граничні умови для завдання й одержувати чисельні значення у формі основного закону гідростатики.

При горизонтальному переміщенні посудини зі сталим прискоренням на рідину діє сила ваги й сила інерції.

Рівняння вільної поверхні рідини при цьому має вигляд:

(3.1)

де С- стала інтегрування

Величина тиску визначається з початкових умов для точки з координатами Х_о, Z_o у якій тиск Р дорівнює тиску над вільною поверхнею (Р_О). При цьому тиск у будь-якій точці рідини дорівнює:

(3.2)

Сила тиску на плоску стінку визначиться по формулі:

(3.3)

h_с - глибина занурення центра ваги стінки від вільної поверхні. При обертанні посудини навколо вертикальної осі рівняння площини рівня.

(3.4)

де - кутова швидкість, 1/сек;

r- відстань від осі обертання , м

Для циліндричної посудини радіусом R висота параболоїда обертання дорівнює

об’єм параболоїда дорівнює

Тиск у будь-якій точці визначається зі співвідношення:

(3.5)

П риклад: Визначити частоту обертання циліндричної посудини, при якій сила тиску на верхнє днище F=6000 Н. До початку обертання рівень води в п’єзометрах одного діаметра дорівнював h=400 мм. П’єзометри встановлені на відстанях r ₁=100 мм і r ₂=150 мм від осі обертання посудини, діаметр посудини дорівнює 400 мм.

Рішення:

1. Вибираємо площину порівняння, що проходить через верхнє днище.

2. Висота стовпців рідини в п’єзометрах:

Так як кількість води в системі невідома, то

,

тоді

.

Висота параболоїда обертання

Надлишковий тиск у будь-якій точці рідини

.

Тому що для всіх точок днища Z=0,

Підставивши Z₀, одержимо

Звідки сила тиску на кільцеву площадку

після інтегрування від 0 до R_ц

Звідки

Відповідь: w=11,41 1/с

3.2 Практичні завдання

3.1. Визначити показання мановакуумметра, установленого в посудині з водою на глибині h, якщо при вертикальному переміщенні величина прискорення становила: при підйомі А₁, при спуску А₂.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
H, м	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4	4,5	5
А1, м/с2	2	4	8	16	10	5	2,5	18	9	3
А2, м/с2	0,5	1	2	3	2,4	3,5	4,6	4	5	6

3.2. Визначити мінімальний рівень рідини у вертикальній циліндричній ємності D=1м, при якому прийомний отвір, установлений на висоті h від дна, не буде осушений при русі посудини із прискоренням а в горизонтальному напрямку.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
H, м	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,5
а, м/с2	2	4	8	16	10	5	2,5	18	9	3

3.3. Призматична посудина шириною 2м і довжиною 3м розділена перегородкою на два відсіки довжиною L₁ і L₂ , у стані спокою відсіки заповнені водою на висоту h₁ і h₂ відповідно. Визначити силу, що діє на перегородку при русі посудини із прискоренням а.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
L1, м	0,5	0,6	0,7	0,8	1,0	1,1	1,2	1,3	1,4	1,5
H1, м	1,5	1,6	1,7	1,8	2,0	2,2	2,4	2,6	2,8	3,0
H2, м	2,5	2,6	2,7	2,8	3,0	3,2	3,4	3,6	3,8	4,0
а, м/с2	1,5	2	3	4	5	6	7	8	9	0,5

3.4. На поверхні горизонтального тіла, що рухається, установлена U-образна трубка малого діаметра, наповнена рідиною, що дозволяє вимірювати прискорення. Визначити різницю рівнів в U-образній трубці при прискоренні, рівному а, якщо відстань між вертикальними частинами трубки дорівнює L.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
а, м/с2	2	4	8	16	10	5	2,5	18	9	3
L, м	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50
Рідина	Вода	Нафта	Гас	Нафта	Бен- зол	Гас	Масти-ло	Спирт	Вода	Ані- лін

3.5. Визначити розподіл тисків води на дні циліндричної посудини діаметром D обертовому з кутовою швидкістю , якщо в нерухомому стані рівень рідини дорівнював H, температура води Т.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D, м	1	0,9	0,8	0,7	0,6	0,5	0,45	0,4	0,3	0,66
, 1/с	20	18	26	74	43	50	30	60	40	10
H, м	2	3	2,4	3,2	4	4,2	4,4	4,6	4,8	5
T, 0С	40	20	30	40	50	60	20	30	40	50

3.6. Циліндрична посудина повністю заповнена водою й наведена в обертання із частотою N. На посудині встановлений U-образний манометр, приєднаний нижче верхньої кришки на відстані 0,1м, що обертається разом з посудиною, відстані до осі трубок рівні r₁ і r₂ відповідно. Визначити різницю рівнів в U-образній трубці, якщо густина рідини дорівнює ρ_0.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N, 1/с	20	25	30	35	40	45	50	4	6	8
r1, мм	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250
r2, мм	260	270	280	290	300	310	320	330	340	350
ρ0,кг/м3	700	1200	1100	950	850	900	800	980	770	700

3.7. Циліндрична посудина діаметром D і висотою H₀ заповнена водою на висоту h, інший об’єм посудини повністю заповнений мастилом М. Кришка, що закриває посудину зверху, сполучається з атмосферою. Визначити частоту обертання посудини, при якій рівень води досягне верхньої кришки.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
D, мм	500	600	700	800	900	1000	1200	1400	1600	1800
H0, мм	400	450	500	550	600	650	700	750	800	850
h, мм	360	370	380	390	400	410	420	430	440	250
Масло	И- 8А	М-20М	АС- 6	МС-14	ТП-30	Транс.	МТ- 14п	ТП- 46	ХА 30	ХС 40

3.8. Циліндрична посудина діаметром 1.6 метра заповнена водою. На кришці, що закриває посудину зверху, установлені п’єзометри однакового діаметра на відстані r₁ і r₂ від осі обертання посудини. У стані спокою рівень води в п’єзометрах дорівнює h.

1. Визначити частоту обертання N, при якій різниця рівнів у трубках стане рівною 2h.

2. Зобразити епюру сил тиску, що діють на верхню кришку при цій частоті обертання.

Варіант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
h, мм	50	60	70	80	90	100	110	120	140	150
r1, мм	160	170	180	190	200	210	220	230	240	250
r2, мм	260	270	280	290	300	310	320	330	340	350