5. Пример выполнения задания
Задание 1
Определите тип дифференциального уравнения, найдите его общее решение и
найдите частное решение, если поставлены начальные условия:
1.1.
1.2.
;
1.3.
,
,
;
1.4. ;
1.5. ;
1.6.
.
Решение
1.1.
,
Данное
ДУ первого порядка относительно функции
имеет вид
обобщённого
линейного уравнения
(уравнения Бернулли):
,
в котором
,
,
.
В
соответствии с теоретическим методом
решения, следует искомую функцию
искать в
виде произведения двух функций
и
,
для каждой из которых всегда получается
дифференциальное уравнение с разделяющимися
переменными:
=>
;
ДУ:
<=>
<=>
;
ДУ
для
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
;
в проведённых выкладках
заменялось
на
,
где
,
а затем фиксировалось
,
что допустимо в решении линейных ДУ
первого порядка;
ДУ
для
<=>
<=>
<=>
<=>
или
(сделано переобозначение
на
).
Перемножением
функций
и
находим общее решение данного ДУ
.
Если
рассмотреть случай
,
то получим функцию
,
которая удовлетворяет исходному
дифференциальному уравнению, но является
его особым решением, так как ни при каком
значении постоянной
эта функция не получается из найденного
общего решения.
Решаем задачу Коши:
так
как имеем начальное условие
,
то подставляем
и
в общее решение и находим значение
произвольной постоянной
,
при котором будет удовлетворяться это
начальное условие:
< =>
<=>
;
возвращая это значение в решение, получаем искомое частное решение:
<=>
.
Заметим,
что особое решение
не удовлетворяет поставленному начальному
условию, поэтому получаем только одну
интегральную линию, проходящую на
плоскости
через
точку
.
Ответ
по задаче 1.1: 1)
- общее решение,
- особое решение данного ДУ;
2) - искомое частное решение.
1.2
Преобразуем данное ДУ к каноническому виду ДУ первого порядка, чтобы определить его тип:
<=>
=>
<=>
- однородное ДУ первого порядка, так как
имеет вид
.
Теоретический
метод решения: заменить
,
тогда
.
Выполняем
эту замену в ДУ и получаем ДУ с
разделяющимися переменными относительно
функции
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
ВЫДЕЛИТЬ
ПЕРЕХОД
вычисление интеграла, стоящего в левой части равенства:
=
=
;
<=>
-
это общий интеграл ДУ относительно
функции
Выполняем
обратную замену, подставив в общий
интеграл
:
<=>
;
Нахождение
общего решения
из последнего равенства затруднительно,
поэтому для ответа ограничимся общим
интегралом, но преобразуем его к более
простому виду без логарифмов:
<=>
,
где
<=>
<=>
<=>
,
,
где
.
Дополнительно
разберёмся с равенством
,
которое может дать особое решение
исходного ДУ:
;
чтобы проверить, являются ли эти функции решениями исходного ДУ, их следует подставить в первоначальное равенство «до делений»:
<=>
- верно при
любых x
=>
функция
удовлетворяет исходному дифференциальному
уравнению, следовательно, является его
решением; сопоставив это решение с общим
интегралом данного ДУ, видим, что оно
получается из общего интеграла при
значении
;
поэтому функция
особым решением не является, но в общий
интеграл следует подключить значение
.
Аналогично
функцию
подставим в исходное ДУ «до делений»:
<=>
- верно при
любых x
=>
функция также является решением исходного ДУ; но эта функция не получается из общего интеграла ни при каком числовом значении произвольной постоянной ; поэтому функцию следует записать в ответ как особое решение.
Ответ
по задаче
1.2:
1.3.
,
,
Имеем
ДУ второго порядка относительно функции
,
которое относится к типу ДУ, допускающих
понижение порядка, так как не содержит
в явном виде аргумент
(теоретический
вид дифференциальных уравнений этого
типа:
).
В соответствии с теоретическим методом
решения выполняем следующую замену:
=>
.
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
=>
.
Так
как
то получено, что
<=>
-
ДУ I
порядка с разделяющимися переменными
относительно функции
=> 
=>
<=>
<=>
<=>
=>
;
переобозначим
произвольные постоянные
и
,
включив в них постоянные множители:
и
;
в результате получим общее решение
исходного ДУ в следующем виде: 
.
Функция
,
которая дважды получалась в процессе
решения, удовлетворяет исходному ДУ и
является его особым решением, так как
не получается из общего решения ни при
каких значениях постоянных
и
.
Решаем задачу Коши:
,
- эти начальные условия подставляем в
общее решение и в его производную:
<=>
;
=>
=>
;
=>
=>
;
подставляем
найденные значения
и
в общее решение и получаем искомое
частное решение:
.
Заметим,
что поставленным начальным условием
можно удовлетворить и особым решением:
если
,
то
и
;
тогда получаем и особое частное решение
.
Таким образом, через заданную точку проходят две интегральные линии данного дифференциального уравнения второго порядка.
Ответ
по задаче
1.3: 1)
- общее решение,
- особое решение данного ДУ;
2)
и
- искомые частные решения.
1.4.
Имеем
дифференциальное уравнение второго
порядка относительно функции y(x);
его тип определяем как линейное
неоднородное ДУ с постоянными
коэффициентами,
так как структура данного ДУ согласуется
с канонической формой
,
в которой p,
q
– числа,
.
На
основании теоремы об общем решении
дифференциального уравнения указанного
типа, обще решение данного ДУ ищем в
виде
,
где
– это общее решение соответствующего
однородного ДУ,
– какое-нибудь частное решение данного
неоднородного ДУ.
Найдем
:
- соответствующее
линейное однородное дифференциальное
уравнение (ЛОДУ); на основании теоремы
об общем решении линейного однородного
ДУ имеем
,
где
и
- произвольные постоянные,
и
- фундаментальная система частных
решений (ФСЧР).
ФСЧР для ЛОДУ с постоянными коэффициентами находится с помощью характеристического уравнения:
<=>
- корни действительные
различные => ФСЧР:
=>
.
Найдём
сначала анализируем правую часть
исходного линейного неоднородного
дифференциального уравнения (ЛНДУ) с
целью установить имеет ли она специальный
вид:
– подходит
под первый специальный вид
,
в котором
,
.
В соответствии с теоретической рекомендацией, частное решение ЛНДУ с такой
правой
частью ищем в следующем виде:
.
Неопределённые коэффициенты A
и
B
находим из условия, что
удовлетворяет исходному ЛНДУ:
так
как
то
<=>
<=>
таким
образом получено, что
.
Выполним проверку найденного частного решения:
- верно.
Общее
решение исходного ЛНДУ находим
суммированием
:
.
Решаем задачу Коши:
подставляя поочерёдно начальные условия в общее решение и его производную, получаем систему уравнений для определения значений постоянных и :
возвращаем числовые значения и в общее решение и получаем искомое частное решение, то есть такое частное решение, которое соответствует поставленным начальным условиям:
.
Ответ
по задаче
1.4: 
;
.
1.5
Имеем линейное неоднородное ДУ с постоянными коэффициентами и правой частью, вид которой не является специальным.
Теоретический
метод решения:
,
где
- общее решение соответствующего
однородного ДУ,
- какое-нибудь частное решение данного
неоднородного ДУ.
Найдем
:
- ЛОДУ с постоянными коэффициентами =>
,
где
,
- ФСЧР,
,
- произвольные постоянные;
ФСЧР составляем по корням характеристического уравнения:
<=>
- случай равных действительных корней
=>
ФСЧР:
,
=>
.
Найдём методом вариации произвольных постоянных, так как правая часть данного ЛНДУ не имеет специальный вид; суть этого метода состоит в том, что функцию берём в таком же виде, в котором получилась функция , но произвольные постоянные и заменяем на функции от x:
;
в
соответствии с теоретической разработкой
этого метода, производные функций
и
следует определять из следующей системы
функциональных уравнений: 
,
в которой
- ФСЧР соответствующего ЛОДУ,
- правая часть данного ЛНДУ;
составляем эту систему для данного ДУ, упрощаем её и находим её решения, используя формулы Крамера:
<=>
=>
=> система имеет единственное решение,
,
=>
,
- это и есть решение системы, которое
всегда следует подтвердить проверкой;
функции и восстанавливаем по их найденным производным с помощью неопределённого интеграла:
,
где
-
постоянная интегрирования;
,
где
- постоянная интегрирования;
найденные
функции
и
подставляем в формулу для
и получаем:
;
так
как
- это какое-нибудь частное решение ЛНДУ,
то константами интегрирования
и
можно распорядиться удобным образом,
например, положить их равными нулю; в
результате функция
упростится к следующему виду:
.
Общее решение исходного ЛНДУ находим суммированием функций и и дальнейшими упрощениями полученного выражения.
Ответ по задаче 1.5:
.
1.6.
Данное дифференциальное уравнение второго порядка имеет тип линейного неоднородного ДУ (ЛНДУ) с постоянными коэффициентами. Уравнение такого типа уже встречалось в выполняемом задании, поэтому можно его каноническую форму не приводить и суть метода решения подробно не описывать.
Ниже приводится краткое решение этого ДУ:
,
где
- общее решение собственного ЛОДУ,
- какое-нибудь частное решение
данного ЛНДУ;
находим
=>
,
где
- это ФСЧР,
- произвольные постоянные;
характеристическое уравнение:
<=>
- комплексно-сопряжённые корни;
=>
ФСЧР:
,
=>
;
находим
анализируем правую часть исходного ЛНДУ:
,
где
- подходит под
второй специальный вид
,
- подходит под
первый специальный вид
;
в
этом случае нужно использовать метод
суперпозиции частных решений ЛНДУ, по
которому частное решение
нужно искать в виде суммы двух функций
,
где
- это частное
решение ЛНДУ
,
- это частное
решение ЛНДУ
.
Так
как обе правые части
и
имеют специальный вид, то каждая из
функций
и
наиболее просто находятся методом
неопределённых коэффициентов;
В соответствии с теоретическими рекомендациями:
,
так как
,
= >
;
<=>
<=>
<=>
<=>
<=>
=>
;
Проверка :
,
так как
=>
,
=>
<=>
<=>
=>
(достоверность функции
легко подтверждается проверкой);
сложением найденных функций и определим функцию :
;
определив функции
и
,
составляем общее решение исходного
ЛНДУ
и упрощаем функцию
к лаконичному виду.
Ответ по задаче 1.6:
.