Отношение порядка на множестве целых чисел
О.
Для целых чисел
и
полагаем
,
если
,
т.е.
является натуральным числом.
Дизъюнкцию или обозначают .
Можно доказать следующие свойства этого отношения:
1) система
является линейно упорядоченным
множеством, но не вполне упорядоченным
(почему?);
2) из
и
,
т.е. это множество дискретно;
3) если , то
)
для любого
;
)
,
если
,
и
,
если
;
) если
,
то
.
Упр. 18. Докажите, что выполняются следующие свойства:
1) 0 меньше любого натурального числа ;
2) любое отрицательное число меньше натурального;
3) если
и
,
то
.
Делимость целых чисел и деление с остатком в кольце целых чисел
О.
Пусть
,
говорят, что
делится на
и пишут
или
(
делитель
),
если существует число
,
удовлетворяющее условию
и
называют частным от деления
на
.
Ясно, что деление во множестве не всегда выполнимо.
Исходя из определения
умножения, можно доказать, что если
существует частное от деления
на
,
где
,
то оно определяется однозначно, с другой
стороны, не существует частного от
деления числа, отличного от нуля, на
нуль. Однако при таком определении
,
т.е. нуль является делителем нуля, т.к.,
например,
,
но при этом нарушается однозначность
деления.
Для делимости целых чисел выполняются следующие свойства:
для любого
и
;если
,
то
;если и
,
то
,
т.е. отношение делимости транзитивно;если , то для любого
;если и , то для любых целых чисел и
;если , то для любого
;если
и
,
то
.
Докажите эти свойства самостоятельно.
О.
Пусть
- целое число,
- натуральное число. Говорят, что
произведено деление с остатком числа
что
на
,
если найдены целые числа
и
такие, что
,
.
При этом
называется частным (неполным частным),
а
- остатком от деления
на
.
Теорема о делении
с остатком.
Для любых чисел
и
,
где
,
существует единственная пара целых
чисел
и
,
удовлетворяющая условиям:
и .
Д.
1) Докажем сначала возможность деления
с остатком, когда
.
Возможны два случая:
и
.
) Пусть
,
тогда имеем
;
положим
и
;
.
) При
согласно свойству Архимеда найдется
такое натуральное число
,
что
.
Рассмотрим последовательность чисел
(1)
Ввиду дискретности
множества натуральных чисел, в ряду (1)
найдется наибольшее натуральное число
такое, что
,
но
,
т.е.
,
но
.
Обозначим
через
,
т.е.
=
,
тогда будем иметь
или
,
где
,
т.е. при
деление с остатком возможно.
Пусть
,
тогда
и согласно доказанному существуют целые
числа
и
,
,
что выполняется равенство
или
.
Если
,
то
,
если же
,
то
,
где
.
Обозначив
через
и
через
,
будем иметь
,
т.е. и в этом случае деление с остатком
возможно.
2) Докажем единственность деления с остатком. Пусть существуют два представления целого числа :
и
,
и
.
Предположим, что
и
,
тогда
.
Так как
и
,
то
,
но
,
следовательно,
,
с другой стороны,
или
.
Получили противоречие.
Упр. 19. Разделить с остатком -68045 на 78 и записать в виде деления с остатком.