Подгруппы
Подмножество
группы
называется ее подгруппой, если
само является группой относительно
операции, определенной в группе
.
Теорема (критерий подгруппы). Множество группы тогда и только тогда является подгруппой, если выполняются два условия:
а) для любых
элементов
.
б) из
.
Справедливость утверждения очевидна. Докажите самостоятельно.
Упр. 9.
Доказать, что в группе
подмножества
,
где
,
,
является ее подгруппой.
Упр. 10.
Докажите, что в группе
выполняется закон сокращения, т.е. для
любых элементов
из
и
.
Упр. 11.
Является ли группой относительно
сложения: а) множество целых чисел
;
б) множество натуральных чисел
?
Упр. 12. Докажите, что множество всех целых чисел, кратных шести, образует подгруппу .
Кольца
О.
Кольцом называется алгебра
с двумя алгебраическими операциями,
называемыми сложением и умножением,
если выполняются следующие свойства:
1) алгебра
является абелевой группой, т.е.
а) сложение коммутативно и ассоциативно;
б) имеется нулевой
элемент, обозначаемый через
(
и т.п.);
в) для каждого
элемента
в
имеется противоположный ему элемент
;
2) умножение ассоциативно;
3) выполняется
дистрибутивный закон умножения
относительно сложения, т.е. для любых
элементов
имеют место равенства
и
.
Если умножение в кольце коммутативно, то кольцо называют коммутативным.
Если для умножения
в кольце
имеется единичный элемент, то кольцо
называют кольцом с единицей. Единичный
элемент
обозначают через
и т.п.).
Отметим, что в некоторых источниках существование единичного элемента включается в определение кольца (см., например, [3]).
О.
Алгебру
называют полукольцом, если в ней
выполняются все условия определения
кольца, за исключением существования
противоположного элемента для
произвольного элемента
.
Примеры колец:
Непосредственно проверяется, что множество целых, рациональных и действительных чисел являются кольцами, но множество натуральных чисел
не является кольцом, но является
полукольцом.Пусть
некоторое числовое кольцо. Таблицу
вида
,
где
,
называют квадратичной матрицей второго
порядка над
или матрицей размерности
и пишут
.
Множество всех
квадратных матриц второго порядка над
кольцом
будем обозначать через
.
Две матрицы
и
называют равными, если
,
и пишут
=
.
На множестве введем операции сложения и умножения следующим образом:
+
=
и
.
Очевидно, что указанные операции на этом множестве являются алгебраическими.
Покажем, что алгебра
является кольцом с единицей. Действительно:
1) сложение ассоциативно и коммутативно, т.е. имеют место равенства
и
для любых матриц из ;
2) имеется нулевой
элемент, а именно, нулевая матрица
такая, что
;
для матрицы противоположной является матрица
;умножение ассоциативно, т.е.
;
5) единичным
элементом является единичная матрица,
т.е. матрица
,
такая, что
.
Выполнимость свойств 1-5 проверьте самостоятельно.
6) умножение матриц дистрибутивно относительно сложения, т.е. справедливы равенства:
и
.
Проверим только выполнимость первого равенства, выполнимость второго проверяется аналогично (проверьте самостоятельно). Подсчитаем отдельно левые и правые части равенства:
.
(1)
. (2)
Правые части равенств (1) и (2) совпадают, стало быть, совпадают и левые части.
Итак, доказано, что является кольцом с единицей.
В качестве возьмем кольцо целых чисел и рассмотрим произведения матриц
и
.
Этот пример показывает, что некоммутативно, т.е. в общем случае некоммутативное кольцо.
Так как число элементов кольца бесконечно, то и кольцо будет бесконечным.
Упр. 13.
Найдите произведения матриц
и
,
где
.