Алгебры (алгебраические системы)

О. Алгеброй называется упорядоченная пара , где А – непустое множество и F – множество операций на А.

Множество А называется основным множеством алгебры G, а множество операций F – ее главными или внутренними операциями.

Мы будем рассматривать алгебры лишь с конечным числом операций. Поэтому алгебру G можно будет записать в виде , где .

Если среди главных операций есть нульместные операции, например, , фиксирующие соответственно элементы из А, то алгебру G можно записать в виде . При этом указанные выделенные элементы называются главными элементами алгебры G.

Мы будем рассматривать и алгебраические системы, состоящие из двух множеств и с определенными в них операциями нескольких видов, например, системы вида , где А – основное множество, Р – вспомогательное или дополнительное множество, обычно в качестве Р фигурирует некоторое числовое поле или даже коммутативное кольцо (определения их будут даны ниже), F – совокупность главных операций, определенных на А, - отображение в А, а .

Приведем определения некоторых видов алгебр.

О. Алгебра называется полугруппой, если операция ассоциативна.

Обычно в полугруппах пользуются мультипликативной записью операции.

Если операция в полугруппе коммутативна, то полугруппу называют коммутативной.

О. Алгебра с бинарной операцией называется моноидом, если операция ассоциативна и существует нейтральный элемент е.

Очевидно, что любой моноид является полугруппой, но не любая полугруппа будет моноидом. Например, множество целых четных чисел относительно умножения является полугруппой, но не моноидом (проверьте!).

Важнейшими классами алгебр в курсе математики, включая и школьный курс, являются основные числовые системы. Их принято обозначать через .

Упр. 6. Образует ли полугруппу множество всех иррациональных чисел относительно операции умножения.

Упр. 7. На множестве натуральных чисел N заданы операции и : , . Относительно какой операции множество N является моноидом и полугруппой?

Упр. 8. На множестве Q задана операция . Является ли Q полугруппой относительно этой операции?

Наибольший интерес представляет класс алгебр, называемых группами, из-за их широкого применения как к самой математике, так и при решении задач прикладного характера.

Приведем два определения группы.

О.1. Непустое множество G с одной бинарной операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция ассоциативна;

2) имеется нейтральный элемент;

3) для каждого элемента в G имеется симметричный элемент.

О.2. Непустое множество G с одной бинарной операцией называется группой, если выполняются следующие условия:

1) операция ассоциативна;

2) во множестве G для любых а и в разрешимы уравнения и и каждое из них имеет одно решение.

Существуют и другие определения группы, см., например, [3], стр. 94. Но все эти определения оказываются эквивалентными.

Докажем эквивалентность приведенных выше двух определений группы.

а) Пусть множество G является группой согласно первому определению. Покажем, что это множество является группой и согласно второму определению. Для этого достаточно проверить выполнимость условия 2) этого определения.

По предположению для имеется в G симметричный для него элемент . Умножив на обе части уравнений и (первое слева, второе справа) и, воспользовавшись ассоциативностью операции, будем иметь и или и . Пусть  нейтральный элемент группы G, тогда и , или и . Единственность решений указанных уравнений следует из определения алгебраической операции и единственности существования нейтрального и симметричного элементов.

б) Пусть множество G является группой согласно второму определению. Покажем, что это множество будет группой и согласно первому определению.

Выполнимость ассоциативности операции гарантируется вторым определением. Покажем существование нейтрального элемента. Рассмотрим уравнение , где . Согласно второму определению оно разрешимо в G и имеет единственное решение, обозначим его через , т.е. .

Проверим, что для любого . Действительно, рассмотрим уравнение , которое в G разрешимо. Умножим обе части его на и, воспользовавшись ассоциативностью операции, будем иметь , но , т.е. , или . Таким образом, является правым нейтральным элементом.

Аналогично доказывается существование левого нейтрального элемента , исходя из разрешимости уравнения . Выше было показано, что .

Докажем, что для элемента из существует в симметричный ему элемент .

Рассмотрим уравнение , где  нейтральный элемент группы . Это уравнение по условию в разрешимо, решение его обозначим через , т.е. ,  правый симметричный для элемент. Аналогично проверяется существование левого нейтрального для элемента , исходя из разрешимости уравнения . Выше показано, что .

Эквивалентность двух определений группы доказана.

По определению групповая операция не обязана быть коммутативной. Если же операция в группе коммутативна, то ее называют коммутативной или абелевой, по имени выдающегося норвежского математика Н.Х. Абеля (1802-1829).

О. Число элементов группы называют ее порядком и обозначают в виде .

Если число элементов в группе конечно, то ее называют конечной, в противном случае – бесконечной.

В дальнейшем преимущественно будем пользоваться мультипликативной записью операции в группе, т.е. .

Примеры групп:

1. Множество целых чисел с операцией сложения. Выполнимость свойств группы легко проверяется. (Проверьте, что относительно операции умножения это множество не является группой)

2. Рассмотрим множество всех взаимно однозначных отображений первых четырех натуральных чисел на себя. Такое отображение называют их подстановкой и обозначают , где  это те же числа 1, 2, 3, 4, быть может, расположенные в другом порядке. Такую запись назовем стандартной записью подстановки. Так как отображение определяется однозначно указанием образа элемента, то одна и та же подстановка может быть записана разными способами, например, имеют место равенства:

.

Множество всех таких подстановок обозначим через . Так как каждая подстановка может быть записана в стандартной форме, то их будем считать различными, если у них различны вторые строчки, которые представляют из себя перестановки из четырех чисел. Но число различных перестановок из четырех чисел равно (четыре факториал) или . В выделяют так называемую тождественную подстановку , она может быть записана в виде .