Отношение порядка на множестве действительных чисел

О.1. Пусть даны два действительных числа и , записанные в стандартной форме, , . Говорят, что больше и пишут , если существует такое , что и при всех .

Существует и другое определение отношения порядка на .

О.2. Говорят, что , если .

Упр. 29. Докажите эквивалентность этих двух определений.

Дизъюнкцию или обозначают в виде .

Можно ввести отношение симметричного отношения .

Упр. 30. Докажите, что отношение является отношением строгого линейного порядка на множестве .

Множество действительных чисел , как и множество рациональных чисел, является плотным множеством, т.е. для любых двух неравных действительных чисел и найдется действительное число , заключенное между ними.

Проверьте, что если , то имеет место соотношение .

Множество действительных чисел может быть задано и с помощью системы аксиом. Отметим две из этих аксиом: аксиому Архимеда и аксиому полноты (непрерывности).

Аксиома Архимеда утверждает, что для любых действительных чисел и , где , найдется такое натуральное число , что .

Пусть дано числовое поле , в котором определено стандартное отношение порядка, т.е. , если .

Аксиома полноты множества имеет несколько формулировок. Мы ограничимся двумя формулировками полноты.

О. Последовательность чисел поля называется фундаментальной, если для любого , найдется такое натуральное число , что для любых и из , где , выполняется неравенство .

Отметим, что существует и другое, эквивалентное, определение фундаментальной последовательности.

Теорема. Всякая сходящаяся последовательность чисел поля является фундаментальной.

Д. Пусть - сходящаяся последовательность чисел поля и , принадлежит самому полю , либо содержится в некотором его расширении. Рассмотрим выражение , где . Используя известные соотношения для модуля, будем иметь:

(1)

Пусть - произвольное положительное, по определению предела найдется такое натуральное число , что для всех и , больших , будем иметь и , тогда из (1) получим , т.е. последовательность - фундаментальная. Теорема доказана.

О. Числовое поле называется полным (непрерывным), если любая фундаментальная последовательность чисел поля сходится в этом поле.

О. последовательности стягивающихся вложенных отрезков. Последовательность отрезков , чисел поля называется последовательностью стягивающихся вложенных отрезков, если выполняются следующие условия:

1) последовательность неубывающая, т.е. , а последовательность убывающая, т.е. , для любого ;

2) для любого ;

3) при длина отрезка стремится к нулю.

О. Числовое поле называется полным (непрерывным), если для любой последовательности стягивающихся вложенных отрезков чисел этого поля существует единственное число из поля , принадлежащее всем отрезкам этой последовательности.

Можно доказать, что эти два определения полноты эквивалентны.

Было доказано, что множество рациональных чисел является плотным, но оно не является полным. Действительно, рассмотрим последовательность десятичных приближений числа : . Нетрудно доказать, что , т.к. для любого , т.е. эта последовательность, состоящая из рациональных чисел, является сходящейся, стало быть, является фундаментальной. Но предел этой последовательности не является рациональным числом.

Для поля же действительных чисел справедливы утверждения:

1) любая фундаментальная последовательность действительных чисел сходится в поле действительных чисел;

2) для поля действительных чисел верен принцип вложенных отрезков.

Следовательно, поле действительных чисел является полным (непрерывным).

Упр. 31. Докажите, что число не может быть рациональным.

Упр. 32. Докажите, что бесконечная десятичная дробь не является периодической.

Замечание. Программные вопросы, относящиеся к множеству комплексных чисел, довольно полно и в доступной для студентов форме изложены в имеющихся вузовских учебниках, то мы предлагаем обратиться студентам к списку приведенной литературы.