Арифметические операции на множестве действительных чисел
Выделяют две формы
записи отрицательных дробных чисел,
например, дробь
можно записать в виде
или
,
т.е. во второй записи дробная часть
является положительным числом.
При записи
бесконечной десятичной дроби
в виде
мы будем считать, что
- произвольное целое число, а дробная
часть – неотрицательное число. Чтобы
особо выделить, что
- отрицательное число, иногда над ним
ставят знак «минус». Такую запись назовем
стандартной записью действительного
числа.
Для действительного
числа
вводятся десятичные приближения по
недостатку и по избытку с точностью до
,
обозначаемые соответственно
и
;
,
для которых выполняется соотношение
.
Если для конечных десятичных дробей сравнительно просто определяются операции сложения, умножение и сравнения, то при определении этих операций над бесконечными десятичными дробями возникают трудности принципиального характера. Поэтому при введении операций над действительными числами пользуются их десятичными приближениями.
О.
Пусть даны два действительных числа
и
,
и
- соответствующие их десятичные
приближения. Тогда под их суммой будем
понимать действительное число
,
удовлетворяющее неравенству
для любого
.
Можно доказать, что такое число существует и определяется однозначно.
Определим произведение сначала двух положительных чисел и .
О.
Число
называется положительным, если найдется
такое
,
что для всех
,
и будем писать
.
О.
Число
,
противоположное положительному, называют
отрицательным и пишут
.
Множество всех
положительных действительных чисел
обозначим через
или
,
отрицательных -
или
.
Модуль действительного числа определяется по аналогии с модулем целого числа.
О.
Модулем действительного числа
,
обозначаемым через
,
называется число
Как и для целых
чисел можно приписать действительному
числу
его знак
,
нулю приписывают любой из знаков + или
–. Тогда будем иметь соотношения
или
.
О.
Под произведением двух положительных
чисел
и
будем понимать действительное число
,
удовлетворяющее неравенству
для любого
.
Можно доказать, что такое существует и определяется однозначно.
О.
Если хотя бы одно из чисел
или
равно нулю, то будем считать, что
.
Заметим, что 0 можно
представить в виде
.
О. Пусть и - произвольные действительные числа, тогда их произведение
,
где
равно нулю или определено в
.
Можно проверить,
что множество действительных чисел
относительно определенных выше операций
сложения и умножения является полем
(выполнимость свойств поля для
проверьте самостоятельно). Отметим, что
число 1 относительно умножения, а 0 (нуль)
относительно сложения и умножения во
множестве
играют такую же роль, как во множествах
и
.
Существование обратного элемента для
на данном этапе примем без доказательства.
Примем без доказательства и существование корня натуральной степени для любого неотрицательного действительного числа.