Тема 10 Доверительная вероятность. Интервальные оценки

При выборке сравнительного небольшого объема точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине следует пользоваться интервальными оценками.

Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами- концами интервала. Интервальные оценки позволяют установить точность и надежность оценок.

Доверительной вероятностью или надежностью оценки параметра по называют вероятность , с которой осуществляется неравенство , то есть .

 есть положительное число, которое характеризует точность оценки; чем меньше , тем оценка точнее.

Заменим неравенство равносильным ему двойным неравенством: . Тогда доверительную вероятность запишем как: Это соотношение понимают следующим образом: вероятность того, что интервал заключает в себе неизвестный параметр , равна . Интервал ( называют доверительным интервалом.

Доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при большом объеме выборки ( ).

В этом случае среднее значение измеряемого параметра генеральной совокупности будет отличаться от выборочного значения на величину . При заданной доверительной вероятности интервал имеет вид:

,

где - точность интервальной оценки,

-среднее квадратическое отклонение, найденное по данным выборки,

n-объём выборки.

По таблице значений функции Лапласа можно определить из условия

.

При малом числе наблюдений ( объём выборки меньше 30) точечная оценка в значительной мере случайна, и возможна только интервальная оценка. В этом случае недостаток информации о генеральной совокупности приводит к значительному расширению доверительного интервала. Точность оценки находится из соотношения:

,

где “исправленное” стандартное отклонение признака X;

доверительная вероятность;

коэффициент доверия для заданного объёма выборки n (см. приложение 3).

Пример 3. Собраны данные о товарообороте Х ( ден. ед.) 100 однотипных магазинов и получено следующее распределение (табл.1).

1. Построить гистограмму плотности относительных частот для наблюдаемых значений признака Х.

2. Составить дискретный вариационный ряд и статистическое распределение выборки.

3. Найти точечные характеристики выборки: , и .

4. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с заданной доверительной вероятностью .

Табл. 1

Интервалы	(10;20]	(20;30]	(30;40]	(40;50]	(50;60]	(60;70]	(70;80]	(80;90]
Частоты	5	11	15	20	19	14	13	3

1. Для построения гистограммы относительных частот ( ) построим расчетную таблицу 2:

Табл. 2

Интервалы	(10;20]	(20;30]	(30;40]	(40;50]	(50;60]	(60;70]	(70;80]	(80;90]
Частоты	5	11	15	20	19	14	13	3
Отн.частоты	0,05	0,11	0,15	0,2	0,19	0,14	0,13	0,03
Плотность отн.частот	0,005	0,011	0,015	0,02	0,019	0.014	0,013	0,003

Гистограмма относительных частот:

2. Для составления дискретного вариационного ряда найдем середины интервалов , т.д. Построим статистическое распределение выборки в таблице 3, в которой проведем расчеты для нахождения , и .

Табл. 3

Середины интервалов, xi	Частоты пi	xini	(xi- )2ni
15	5	75	5985,8
25	11	275	6656,76
35	15	525	3197,4
45	20	900	423,2
55	19	1045	554,04
65	14	910	3320,24
75	13	975	8387,08
85	3	255	3759,48
Сумма	100	4960	32284

Объем выборки .

3. Найдем среднюю выборочную: ден.ед.

Найдем выборочную дисперсию: и среднее квадратическое отклонение .

4. По заданной доверительной вероятности найдем доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного признака генеральной совокупности.

Вычислим точность оценки по формуле , в которой параметр найдем по таблице функции Лапласа согласно равенству: , ; тогда .

Точность оценки , следовательно, доверительный интервал для оценки математического ожидания будет равен:

;

.

Таким образом, если проведено достаточно большое число наблюдений случайной величины (товарооборот магазина), то в случаев доверительный интервал покроет математическое ожидание значения товарооборота; в случаев математическое ожидание может выйти за границы доверительного интервала.

Пример 4. Собраны данные о квартальной доходности акций нескольких компаний:

Средний доход	3%	3,5%	4%	6%	7%
Число акций	2	3	5	4	1

Полагая, что изменчивость доходности описывается законом нормального распределения, найти доверительный интервал для доходности акций на уровне надёжности =0,95.

Составим расчётную таблицу для нахождения и :

Доход хi	Число акций ni
3% 3,5% 4% 6% 7%	2 3 5 4 1	6 10,5 20 24 7	4,5 3 1,25 9 6.25
сумма	15	67,5	24

- средняя доходность акций,

- исправленное стандартное отклонение.

Найдём по приложению 3 коэффициент доверия Т(15; 0,95)=2,15 и точность оценки . Тогда доверительный интервал

4,5-­­­­­­0,727< <4,5+0,727

3,773< <5,227.

Cредняя доходность акций с надёжностью будет находится в интервале от 3,773% до 5,227%.