Тема 9 Статистические оценки параметров распределения

Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности. Из теоретических соображений и по виду гистограммы или полигона частот установлено, что изучаемый признак распределен в генеральной совокупности по нормальному закону. Тогда необходимо оценить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, то есть параметры, определяющие нормальное распределение.

Для того чтобы статистическая оценка, найденная по данным выборки, давала «хорошее» приближение оцениваемого параметра, она должна удовлетворять следующим трем требованиям: быть несмещенной, эффективной и состоятельной.

Несмещенной называют статистическую оценку , математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки: .

Эффективной называют статистическую оценку, которая при заданном объеме выборки имеет наименьшую возможную дисперсию.

Состоятельной называют статистическую оценку, которая при стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

Для изучения генеральной совокупности относительно количественного признака извлечена выборка объема .

Точечная оценка представляет из себя приближённое значение оцениваемого параметра и определяется одним числом.

Выборочной средней называют среднее арифметическое взвешенное значение признака выборочной совокупности и вычисляется по формуле:

.

Выборочная средняя есть несмещенная, эффективная и состоятельная оценка генеральной средней .

Для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг своего среднего значения , вводят выборочную дисперсию, которую вычисляют по формуле

и среднее квадратическое отклонение , которое в математической статистике часто называют выборочным стандартом.

Выборочную дисперсию и отклонение вычисляют для больших выборок .

Для малых выборок вычисляют исправленную дисперсию :

и исправленное стандартное отклонение:

Вычисление выборочных характеристик , D_B, и часто называют первичной статистической обработкой результатов наблюдений.

Для сравнения различных вариационных рядов служит коэффициент вариации или : тот из рядов имеет большее рассеяние по отношению к выборочной средней, у которого коэффициент вариации больше.

Вычислим точечные характеристики для примеров 1 и 2 темы 8.

Пример 1 (продолжение). Составим расчетную таблицу 1.

Таблица 1

хi	ni	xini	(xi- )2ni
36	1	36	29,49
37	1	37	19,62
38	5	190	58,82
39	8	312	47,24
40	17	680	34,76
41	23	943	4,25
42	20	840	6,50
43	9	387	22,18
44	7	308	46,23
45	5	225	63,72
46	3	138	62,65
47	1	47	31,02
Сумма	100	4143	426,49

Вычислим: , ,

, , ,

.

По расчетам видно, что для выборки объема в 100 единиц выборочный стандарт и исправленный стандарт отличаются незначительно.

Пример 2. Получено распределение людей по росту:

Таблица 1

Рост, см	(146;152]	(152;158]	(158;164]	(164;170]	(170;176]	(176;182]	(182;188]
Кол-во	10	91	301	371	184	38	5

Построить гистограмму частот по данному распределению.

Определить точечные оценки параметров распределения.

Решение: Найдем плотности частот , где ширина частичных интервалов

h=152–146=6:

Таблица 2

	(146;152]	(152;158]	(158;164]	(164;170]	(170;176]	(176;182]	(182;188]	Сумма
	10	91	301	371	184	38	5	1000
	1,67	15,67	50,17	61,83	30,67	6,33	0,83

Гистограмма частот.

n_i/h

От интервального ряда перейдем к ряду дискретному, найдя для каждого частичного интервала середину: х₁=(146+152):2=149 и т. д. Составим расчетную таблицу 2.

Таблица 2

хi	ni	xini	(xi- )2ni
149	10	1490	2746,3
155	91	14105	10170,8
161	301	48461	5991,9
167	371	61957	756,5
173	184	31832	10152,2
179	38	6802	6851,8
185	5	925	1887,2
Сумма	1000	165572	39556,7

Вычислим среднее выборочное :

см – средний рост людей данной группы;

выборочную дисперсию :

и выборочный стандарт :

cм характеризует абсолютный разброс выборочных данных вокруг среднего.

Коэффициент вариации :

характеризует относительный разброс выборочных данных вокруг среднего.