Тема 6 Закон нормального распределения.

Нормальный закон распределения занимает среди других законов распределения особое положение и является наиболее часто встречающимся на практике. Главная его особенность состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся типичных условиях.

Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной величины Х, которое описывается плотностью распределения вида

,

где – математическое ожидание, – среднее квадратическое отклонение НСВ и являются параметрами нормального распределения.

График функции плотности нормального распределения называется кривой Гаусса и зависит от параметров и . Легко показать, что функция имеет максимум в точке и . Поскольку функция чётная относительно , то ее график будет симметричен относительно прямой . При функция и ее график приближается к оси абсцисс. График плотности нормального распределения, называемый нормальной кривой или кривой Гаусса, приведён на рис. 1.

При решении практических задач часто возникает необходимость определения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины (параметры ее известны и равны и ) в заданный интервал , которая вычисляется по формуле:

,

где Ф(z)– функция Лапласа. Используя эту формулу, найдем вероятность отклонения случайной величины от ее математического ожидания на величину, не превышающую :

.

Пример. Производителю электроламп известно, что средний срок работы лампы составляет 600 часов, а среднее квадратическое отклонение срока работы – 40 часов. Какова вероятность, что срок работы лампы составит:

1. от 550 до 700 часов;

2. менее 550 часов;

3. отклонится от среднего на величину, меньшую 10 часов?

Запишем данные задачи: часов, часов.

1) , часов. Тогда

.

Таким образом, около 89% ламп проработают от 550 до 700 часов.

2) Менее 550 часов, следовательно , . Тогда

.

Таким образом, около 11% ламп проработают менее 550 часов.

3) часов, часов. Тогда

.

То есть около 20% ламп проработают от 590 до 610 часов.

Тема 7 Закон больших чисел

Заранее нельзя уверенно предвидеть, какое из возможных значений примет случайная величина в итоге испытания, поскольку это зависит от многих случайных причин. Однако, при некоторых сравнительно широких условиях суммарное поведение достаточно большого числа случайных величин утрачивает случайный характер и приобретает характер закономерности.

Эти условия указываются в теоремах, объединенных общим названием закона больших чисел. К ним относятся теорема Бернулли, неравенство и теорема Чебышева.

Теорема Чебышева. Если – попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены, то как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства

будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Сущность теоремы Чебышева состоит в следующем: хотя отдельные независимые случайные величины могут принимать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случайных величин с большой вероятностью принимает значения, близкие к определенному числу, а именно к числу .