Тема 3 Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может наступить при появлении одного из несовместных событий образующих полную группу, причем вероятности этих событий известны и известны условные вероятности то по формуле полной вероятности можно найти вероятность события А:

Пусть произведено испытание, в результате которого появилось событие А. Неизвестно, какое из несовместных событий полной группы предшествовало ему, назовем их гипотезами. Тогда их вероятности вычисляются по формуле Бейеса

Пример 1. Три линии упаковывают молоко. Их производительности относятся как 1: 2: 3. Брак на первой линии составляет 0,5% от объёма продукции; на второй – 0,3%; на третьей – 0,25%. Продукция поступает на общий склад. Какова вероятность того, что наудачу взятый пакет оказался с браком?

Взятый пакет оказался с браком. Что вероятнее, он упакован на первой, второй или на третьей линии?

Введем события:

А – {наудачу взятый пакет оказался с браком},

В₁–{пакет упакован на первой линии},

В₂–{пакет упакован на второй линии},

В₃–{пакет упакован на третьей линии},

Тогда

, , .

Вероятность события А найдем по формуле полной вероятности для трех событий :

.

Вероятности того, что бракованный пакет упакован на 1-ой, 2-ой или 3-ей линиях найдем по формуле Байеса

;

И так, вероятность того, что наудачу взятый пакет с браком

Сравнивая вероятности и , делаем вывод: вероятнее, что бракованный пакет упакован на 3-ей линии.

Тема 4 Повторные независимые испытания

Если производятся испытания, в каждом из которых вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться или не появиться, причем вероятность появления события А постоянна и равна

1. Формула Бернулли.

Формула применяется, когда число испытаний не превышает 10.

Вероятность того, что событие А наступит ровно k раз при проведении n независимых испытаний и не наступит n- k раз, вычисляется по формуле

,

где - вероятность появления события А в одном испытании,

- вероятность не появления события А в одном испытании,

.

и т.д.

обозначает вероятность того, что в n испытаниях событие А появится не менее, чем раз и не более, чем раз и вычисляется по формуле:

2. Локальная формула Лапласа. Применяется в случае, когда число испытаний n велико (п >10) и требуется найти вероятность того, что событие А наступит ровно k раз.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит ровно k раз в n независимых испытаниях и не наступит n- k раз, вычисляется по формуле:

где

Функция чётная и табулирована (ее значения для неотрицательных х приведены в приложении 1).

2. Интегральная формула Лапласа применяется в том случае, когда число испытаний n велико (n>10) и требуется найти вероятность того, что событие наступит от k₁ до k₂ раз.

Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что событие А наступит не менее, чем раз и не более, чем раз в n независимых испытаниях вычисляется по формуле:

;

где ,

- функция Лапласа.

Функция Ф(х) нечетная и табулирована (приложение 2).

2. Формула Пуассона применяется в том случае, когда число испытаний велико, а вероятность р наступления события А в каждом испытании мала (р<0.1 и np<10). Приближенная формула Пуассона имеет вид

причем .

2. Наивероятнейшее значение k₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний (при любом значении n) вычисляется по формуле:

Пример1. Вероятность того, что разговор по телефону состоится, равна 0,7. Производится 5 независимых вызовов. Найти:

1. наивероятнейшее число состоявшихся разговоров и соответствующую вероятность;

2. вероятность того, что состоится от 2 до 4 разговоров.

1. Запишем данные: .

Тогда

и

Вычислим

1. 

Пример 2. Магазин получил 600 изделий. Вероятность того, что изделие высшего сорта равна 0,9. Найти вероятность того, что изделий высшего сорта:

1. ровно 530;

2. от 520 до 535;

3. изделий другого сорта от 70 до 80.

1. Запишем данные:

Тогда по локальной формуле Лапласа:

(по приложению 1).

2. По интегральной теореме Лапласа найдем вероятность того, что изделий высшего сорта будет от 520 до 535:

Ф(2,72)=0,4967 (по приложению 2).

3. Вероятность того, что изделие будет другого сорта Тогда . По интегральной теореме Лапласа вероятность того, что изделий другого сорта среди 600 будет от 70 до 80 будет равна:

Пример 3. Книга издана тиражом 10 тыс. экземпляров. Вероятность того, что книга сброшюрована неправильно, равна 0,0002. Найти вероятность того, что тираж содержит бракованных книг а) ровно 5; б) от 3 до 5.

По условию и

Тогда

По формуле Пуассона находим:

,