МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ТОРГОВО-ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра математических методов и информационных технологий

Теория вероятностей и математическая статистика

Методические указания к выполнению контрольной работы для студентов направления подготовки 080100.62 «Экономика»,

Профиль 080100.62.09 «Экономика предприятий и организаций»

Профиль 080100.62.01 «Бухгалтерский учёт, анализ и аудит»

Профиль080100.62.07 «Финансы и кредит»

форма обучения заочная в сокращенные сроки

форма обучения заочная с полным сроком

Красноярск 2013

Правила выполнения и оформления контрольных работ

Индивидуальные задания охватывают все разделы, изучаемые в курсе Теория вероятностей и математическая статистика. Номера задач, включаемых в контрольные работы, сообщаются преподавателем. Каждая задача имеет десять однотипных заданий. Номер выполняемого задания и учебный шифр должны оканчиваться на одну и ту же цифру.

Приступая к выполнению контрольной работы, следует изучить теоретический материал и ознакомиться с решением соответствующих типовых задач, приведенных в настоящих методических указаниях.

Контрольная работа выполняется в тонкой тетради, на обложке которой должны быть указаны фамилия, имя, отчество студента, его учебный шифр, специальность, а также наименование дисциплины. Решения задач следует располагать в порядке возрастания номеров, причем условия задач выписывать обязательно. Решения задач должны быть оформлены аккуратно, с подробными пояснениями и указаниями использованных формул. В конце работы необходимо приложить список изученной литературы.

В результате проверки преподаватель делает одно из двух заключений относительно работы: «допущено к защите» или «не допущено к защите». В том и другом случае следует выполнить работу над ошибками в той же тетради. Работу, не допущенную к защите, следует представить для повторной проверки.

Тема 1 Классическая и статистическая вероятности

Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых однородных случайных событий.

Под “событием” в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта (или испытания) может произойти или не произойти.

Испытанием назовём любое действие, которое предпринимается с определённой целью.

Наблюдаемые события можно подразделить на достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называется событие, которое при выполнении ряда условий обязательно произойдет.

Невозможным называют событие, которое при выполнении ряда условий не произойдет.

Случайным называется событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти.

Два события называются несовместными, если появление одного из событий исключает появление другого в одном испытании.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Результатом испытания могут быть те или иные элементарные исходы, т.е. простые неделимые исходы, причем, те, в которых событие А наступает, называются благоприятствующими.

Например: при одном бросании монеты возможны два элементарных исхода испытания – выпадение «герба» или выпадение «решетки».

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов n, образующих полную группу:

Данное определение вероятности называется классическим.

- Вероятность события А есть положительная величина, не превышающая 1:

- Вероятность достоверного события равна 1.

- Вероятность невозможного события рана 0.

Пример 1: Найти вероятность выпадения четного числа очков при бросании игральной кости.

Всего возможно шесть элементарных исходов

Событию А (четное число очков) будет благоприятствовать три исхода: выпадение 2, 4 и 6, т.е. Тогда

При решении многих задач на вычисление вероятностей применяются понятия сочетаний.

Сочетаниями называются комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов в каждой, которые отличаются хотя бы одним элементом. Порядок элементов в группе роли не играет. Число сочетаний находится по формуле:

где

Пример 2. Сколькими способами можно выбрать 4 карандаша из 9.

способами.

При этом, если выбирают последовательно два объекта, то применяется правило произведения. Если объект А может быть выбран k способами и после каждого из этих выборов объект В может быть выбран способами, то выбор упорядоченной пары (А, В) может быть осуществлен k способами.

Пример 3. В коробке 15 карандашей, 7 из них синие, остальные красные. Сколькими способами можно выбрать 2 синих и 3 красных карандаша.

Из 7 синих карандашей 2 можно выбрать k способами и Из 8 красных карандашей выбрать 3 можно способами и Тогда 2 синих и 3 красных карандаша можно выбрать способами и по правилу произведения

Пример 4. В коробке находятся 4 красных и 6 зеленых карандашей. Из нее случайно отбирают 3 карандаша. Какова вероятность того, что два из них зеленые.

Событию А – {два карандаша из трех зеленые} будет благоприятствовать m исходов испытаний, состоящие в том, что из 6 зеленых карандашей в коробке отберут 2 зеленых и из 4 красных карандашей в коробке отберут красный: Общее число возможных исходов будет равно Тогда вероятность события А найдем по классическому определению вероятности:

Относительной частотой события называют отношение числа испытаний, в которых событие появилось, к общему числу фактически проведенных испытаний

Частоту события часто называют его статистической вероятностью.

Если сопоставить определения вероятности и относительной частоты, то можно сказать: определение вероятности не требует действительного проведения испытаний; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были проведены фактически.