9. Системы подмножеств: кольца, полукольца, алгебра.

сигма-алгебра. Борелевская алгебра.

Определение 1. Пусть X — непустое множество. Непустое семейство К c Р(X) подмножеств множества X называется (кольцом если оно замкнуто относительно операций пересечения и симметрической разности, т. е. из выполнения условий А К, В К следует, что А В К, А ∆B K.

Определение 2. Кольцо К подмножеств множества X называется алгеброй, если X является элементом К. Таким образом, если К—алгебра, то для любого А К следует, что Х\А К, т. е. алгебра замкнута относительно операции перехода к дополнениям.

Определение 3. Кольцо К называется σ-кольцом, если объединение счетного числа множеств из К принадлежит К, т. е. если A _k K, то K.

Кольцо К называется δ-кольцом, если пересечение счетного числа множеств из K принадлежит К, т. е. если A _k K, то

Кольцо, являющееся одновременно алгеброй и σ-кольцом, называется σ-алгеброй.

Примеры.

1.К=Р(Х) есть кольцо и алгебра и σ-алгебра.

2.К= { , X} — также кольцо и алгебра.

3.X=R, К состоит из всех конечных множеств и пустого множества; К— кольцо, но не алгебра.

4.X = R, К состоит из всех ограниченных множеств и пустого множества; К — кольцо, но не алгебра.

5.X=R, К состоит из всех конечных и счетных подмножеств в R; К— кольцо, но не алгебра.

6. Топология на R, т. е. совокупность открытых множеств на R, не является кольцом (разность двух открытых множеств может не быть открытым множеством).

7.Р(Х) является σ-кольцом и -кольцом.

8.Кольцо из примера 3 не является σ-кольцом, но является -кольцом.

9. Кольцо из примера 4 не является σ-кольцом, но является -кольцом.

10. Кольцо из примера 5 является и σ-кольцом, и -кольцом.

Определение 4. Непустая система подмножеств Sc P(X) называется полукольцом, если для любых А, B S выполнено: 1) А В S 2) существует конечный набор S, i = 1, ... , n, такой, что A\B= .

Примеры.

1.Совокупность промежутков вида [а₁, Ь₁[ на прямой R образует полукольцо, но не кольцо.

2.X= R². Совокупность прямоугольников вида [а₁, Ь₁[ [а₂, Ь₂ [образует полукольцо множеств. Действительно, разность двух таких прямоугольников разбивается на конечное число (не более четырех) прямоугольников такого же вида

3.Совокупность параллелепипедов вида [а₁, Ь₁[ [а₂, Ь₂ [ … [а_n, Ь_n[ в пространстве Rⁿ образует полукольцо

Определение 5. Пусть (X, τ) — топологическое пространство. Борелевской алгеброй на X называется σ-алгебрa, порожденная топологией τ. Элементы борелевской алгебры называются борелевскими множествами.

10.Общее понятие меры. Монотоность, сигма-аддитивность,непрерывность, субаддитивность. Полнота меры,

сигма-аддитивность меры, пороженной функцией распределения.

Опр 1.Будем говорить, что на полукольце S задана мера µ, если любому элементу А S

Поставлено в соответствие вещественное число µ(A) таким образом, что выполнены следующие аксиомы: 1) если А= , А, S, то µ(A) = (аддитивность)

2) µ(A) ≥0 (положительность)

Таким образом, мера есть числовая функция множества, т. е. отображение из S в R.

Примеры.

1.Рассмотрим полукольцо множеств S, состоящее из полуинтервалом на прямой R.Естественная мера полуинтервала — его длина µ([a, b[) = b—а — удовлетворяет аксиомам 1), 2) определения 1, т. е. является мерой в смысле определения 1.

2.Пусть полукольцо S состоит из конечных подмножеств некоторого множества X. Положим µ(А)= ,T. е. µ(A) — количество точек в множестве A S. Аксиомы 1) и 2) выполняются очевидным образом.

3.Пусть S — полукольцо, состоящее из полуоткрытых прямоугольников на плоскости R² со сторонами, параллельными осям координат . Тогда площадь µ(A) прямоугольника А удовлетворяет аксиомам 1) и 2) определения 1, т. е. является мерой.

4.Пусть S — полукольцо, состоящее из прямоугольных полуоткрытых параллелепипедов в пространстве R³со сторонами, параллельными осям координат . Тогда объем параллелепипеда также удовлетворяет аксиомам 1) и 2), т. е. является мерой.

5.Пусть S — полукольцо из примера 4 и пусть в пространстве R³ распределено некоторое вещество. Тогда для каждого параллелепипеда A S положим число µ(А) равным массе вещества, находящегося в параллелепипеде А. Свойство аддитивности 1) выполняется и выражает закон сохранения количества вещества. Аксиома 2) выполняется.

Определение 2. Мера µ:S->R называется счетно- аддитивной (σ-аддитивной), если A= , А, S, следует, что µ(A) =

Теорема 1. Длина является σ-аддитивной мерой на полукольце S, состоящем из полуинтервалов вида [a, b[.

Доказательство. Нужно доказать, что если А = [а, Ь[ представлен в виде A= , где = [a_k, b_k[ то µ(A)= т. е. b-a= = (2)

Так как с [а, b [ для любого n, то имеем ≤b-a. Следовательно, ряд, стоящий в правой части (2), сходится и ≤b-a.

Докажем обратное неравенство: ≥b-a. Возьмем произвольное число ε > 0 и по каждому из полуинтервалов [а_k, b_k [ построим содержащий его открытый интервал B_k =]a_k — ε/2^k+1, b_k [. Вместо полуинтервала [a, b[ возьмем содержащийся в нем отрезок В= [а,b-ε/2].

Тогда В c Ac c , т. е. отрезок В покрыт системой открытых интервалов B_k. Согласно лемме Бореля о покрытии, из этого покрытия можно выделить конечное покрытие, т. е.существует такое n, что В с .