7. Пополнение метрического пространства
О
п р е д е л е н и е 1.
Полное метрическое пространство
называется
,
если
является его всюду плотным подпространством.
Так как изометричные метрические пространства с точки зрения теории метрических пространств считаются одинаковыми, то любое метрическое пространство, изометричное , также будем называть пополнением метрического пространства и и пополнение пространства, изометричного , будем считать пополнением пространства . Как будет показано, из общих соображений следует, что пополнение метрического пространства единственно с точностью до изоморфизма.
Т
е о р е м а 1. (о
пополнении метрического пространства).
.
Л
е м м а 1.
Л
е м м а 2.
.
П
р и м е р 1. Построим
пополнение метрического пространства
из примера 4 лекции3 с помощью конструкции,
описанной в общем виде в теореме о
пополнении. Если
- последовательность Коши в
,
то есть
то
последовательности Коши возможны только
трех видов:
Последовательности Коши первого вида
сходятся, последовательности вида 2) и
3) не сходятся в рассматриваемом
пространстве. Последовательности вида
2) эквивалентны между собой и, следовательно,
образуют один класс эквивалентных
последовательностей, который обозначим
;
последовательности вида 3) образуют
другой класс, который обозначим символом
.
Таким образом, множество
в данном примере состоит их двух точек
и
,
и процесс пополнения пространства
сводится к добавлению двух точек.
Построенное пространство иногда называют
.
В других конкретных примерах построение пополнения с помощью общей конструкции из доказательства теоремы о пополнении приводит к весьма громоздким объектам. Поэтому обычно пополнения стараются строить так, чтобы их элементами были более простые объекты (функции, последовательности и так далее). Например, в лекции 6 будет показано, что пополнение пространства может быть описано более просто – как множество функций, интегрируемых по Лебегу.
8. Необходимость пересмотра понятия интеграла.
обычно
называют уравнения относительно
неизвестной функции, в которые эта
функция входит под знаком интеграла.
Такое описание не является точным
определением, так как не указано, какие
еще операции допустимы в записи уравнения.
Ограничимся рассмотрением интегральных уравнений вида
где
- некоторое пространство с мерой;
- заданные на
функции;
-
заданная
на
функция;
- неизвестная функция. Чаще всего в
качестве
рассматривается некоторое подмножество
в
с
мерой Лебега, например, отрезок
.
Решение
ищется в различных пространствах
функций, определенных на
,
в зависимости от свойств функций
и
.
В случае, когда рассматриваются
непрерывные функции, интеграл можно
понимать в смысле Римана. Заметим, что
пространства выбираются так, чтобы для
функций из этого пространства интеграл
в уравнении существовал.
(записанного
выше) называется функция
,
при подстановке которой в уравнение
выполняется равенство для всех
или почти всех
.
К исследованию интегральных уравнений приводит, например, решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения:
Проинтегрировав
на отрезке
данное дифференциальное уравнение с
учетом начального условия, получаем
интегральное уравнение
которому удовлетворяет решение задачи Коши.
Выделим
некоторые классы интегральных уравнений.
Интегральное уравнение будем называть
,
если функция
линейна по
,
то есть имеет вид
.
Линейное интегральное уравнение имеет
вид
Функция
двух переменных
называется
.
Если
,
то линейное интегральное уравнение
называют
,
а при
-
.
При произвольном
данное уравнение обычно называют
.
Таким образом, уравнение 1-го рода имеет
вид
уравнение
2-го рода -
