25. Продолжение сигма-конечных мер. Интеграл по сигма-конечной мере.

Мера Лебега является -аддитивной.

Теорема.

Если исходная мера m -аддитивна, то множество L(K,m) измеримых по Лебегу множеств образует -алгебру множеств, а мера Лебега является продолжением меры m на -алгебру L(K,m) и является -аддитивной полной мерой.

Определение.

Мера , заданная на кольце , называется -конечной, если существует счетное разбиение X = , где и .

Примеры.

1.Длинна как мера на кольце, порожденном полуинтервалами в R, является -конечной мерой, так как

2.Мера, определенная на конечных подмножествах из R, как число элементов этого подмножества, не является -конечной, так как R несчетно и его нельзя представить как счетное объединение конечных множеств.

Определение.

Множество называется измеримым, если для любого k множество измеримо в .

26. Произведение мер. Теорема Фубини.

Предл.1 Система подмножеств явл. полукольцом.

Th1. Если - σ-аддитивные меры, то явл. σ-аддитивной мерой.

Опр.1 Лебеговское продолжение меры , определ-ой на формулой , наз. произведением мер и обознач. , а пространство с мерой - произведением пространств .

Лм.1 Пусть мера µ получена с помощью продолжения по Лебегу некоторой меры, определ-ой на полукольце S. Для любого измеримого мн-ва С мн-во D такое, что и

Th2. Пусть X и Y – пространства с полными мерами , и -- µ-измеримое мн-во конечной меры. Тогда 1)для почти всех множество явл. измеримым в Y и почти всюду на X определена функция ;

2) справедливо равенство )(C)= .

След.1 Пусть - измеримая на X функция, - мера на X, - мера Лебега на прямой R и есть мн-во в , лежащее под графиком функции . Тогда )(C)= .

Th3. I (Фубини). Пусть – интегрируемая функция на произведении пространств , где меры полны и σ-аддитивны. Тогда

1) как функция при почти всех интегрируема по мере и существует повторный интеграл ;

2) как функция при почти всех интегрируема по мере и существует повторный интеграл ;

3)справед-во равенство (1) .

II(Тонелли). Если и функция измерима на , то из существования одного из повторных интегралов следует, что интегрируема (и выполнено равенство (1) ).

27. Пространство l1(X,m): конструкция‚ метрика, полнота.

T – пр-во с полной σ-аддит и σ-конечной мерой μ. Число 1<р<∞. L_p(T, μ) –мн-во измеримых ф-ций для к-рых сущ ∫_T|x(t)|^pdμ. На этом мн-ве задана метрика ρ([x],[y])= (∫|x(t)-y(t)|^p dμ)^1/p, где [x] – класс ф-ций, эквивал х. (для него выполн аксиомы 1,2 метрики).

Нер-во Юнга:пусть 1<р<∞, q=p/(р-1), где р – сопряж показатель к р,т.е. 1/р+1/q=1). Тогда для любых неотриц чисел u и v справедливо: uv=u^р/p + v^q/q (только когда v= u^р-1)

Нер-во Гельдера: Нормой ф-ции х€ L_p(T, μ) бум наз число ||х||_p= ρ(0,x)=( ∫_T|x(t)|^pd μ)^1\p. Для любых х€ L_p(T, μ), y€ L_p(T, μ) их произв интегрир и справедливо нер-во Гельдеря:

|∫_T|x(t)|^pd μ|≤||x||_p ||y||_p

Нер-во Минковского: Сумма любых ф-ций х и y пр-ва L_p(T, μ) справедливо: ||х+y||_p≤||x||_p ||y||_p

Т-ма. Пр-во L_p(T, μ) полно.

Д-во: возьмём послед Коши (х_n) в L_p(T, μ).

Аподмн-воT – мн-во конечной меры, с помощью нер-ва Гельдера: |∫_T|x_n(t)- x_m(t)|dμ≤( ∫_A|x_n(t) - x_m(t)|^pdμ)^1\p(∫_A1dμ) ^1\p →0 (n,m→∞) . Зн сущ послед к-рая сх-ся почти всюду в А. Если мера σ-конечна, т.е T= можно выбрать подпослед, к-рая почти всюду сх-ся к х₀. Проверим, что х_n → х₀ по метрике пр-ва L_p(T, μ). Для ε>0 сущ номер n(ε) т,что для k,i≥ n(ε)

(∫T|x_nk(t)-y_ni (t)|^p dμ)^1/p≤ ε. Переходя к пределу при i→∞ по т-ме Фату получаем (∫T|x_nk(t)- x₀(t)|^p dμ)^1/p≤ ε, т.е ρ(x_nk, x₀) →0. Зн и сама послед x_n сх-ся в пр-ве L_p(T, μ).

1. Множества и отображения. Операции над множествами. Упорядоченные множества. Лемма Цорна