21. Теорема Лебега о мажорированной сходимости.

Пусть послед-ть измеримых фун-ий f_n почти всюду сходиться к ф-ии f и пусть сущ. такая интегрируемая ф-ия пости всюду. Тогда предельная ф-ия f интегр-ая и .

22. Теорема б.Леви. Следствие для рядов

Теорема(Леви) Пусть - монотонная возраст. послед-ть интегрир. ф-ий и пусть сущ. постоянная C такая, что для n=1,2... Тогда почти всюду сущ. конечный предел , ф-ия f интегрируема и .

Следствие1 Пусть -последовательность неотриц интегр ф-ций и пусть числ ряд сходится. Тогда почти всюду сходится ряд и

Следствие2 Пусть и пусть - такая измеримая функция, что существуют и ряд сходится. Тогда интегрируема и

23. Теорема Фату

Теорема(Фату) Если послед-ть неотриц. интегр. ф-ий f_n сходится почти всюду к f и сущ. постоянная K такая, что , то ф-ия f интегрируема и .

24. Заряды. Взаимная сингулярность мер и зарядов. Теорема Радон-Никодима. Формула Ньютона-Лейбница.

Опр.1 Пусть X – произвольное мн-во, S – σ-кольцо его подмножеств. Отображение наз. зарядом или знакопеременной мерой, если оно σ-аддитивно, т.е. из разложения ,следует, что .

Опр.2 Измеримое мн-во наз. положительным (отрицательным) относительно заряда Ф, если измеримого подмн-ва .

Th1.(теорема Хана о разложении заряда.)Пусть Ф – заряд, заданный на σ-кольце S подмн-ств из X. Тогда такое положительное подмн-во и отрицательное подмн-во , что .

Лм.1 Если заряд Ф задан на σ-кольце S подмн-ств из X, то => .

След.1 Для любого заряда Ф взаимно сингулярные меры такие, что .

Опр.3 Функция наз. функцией ограниченной (конечной) вариации, если число с такое, что конечного разбиения отрезка справедливо неравенство (1). Наименьшая из постоянных с, при которых выполнено неравенство (1), наз. вариацией функции и обозн. или . По определению , где верхняя грань берется по мн-ву всех конечных разбиений отрезка .

Лм.2 Для любой функции ограниченной вариации на [0,1] такие монотонно возрастающие функции , что , и при этом выполнено . Если функция непрерывна слева, то функции можно выбрать непрерывными слева. Если абсолютно непрерывна, то функции также абсолютно непрерывны.

Th2. Функция соответствует некоторому заряду по формуле есть непрерывная слева функция ограниченной вариации и .

Пусть ∑ — ϭ-алгебра подмножеств мн-ва X и μ — мера на ∑ .На той же ϭ-алгебре может быть определено много других мер и зарядов. Некоторые из них (но не все) могут быть представлены в виде: v(A)= , где f – интегрируемая ф-ция.

Опр. Заряд v называется абсолютно непр-ным относительно меры μ, если из μ (А) = 0 следует v(A) = 0.

Лемма: Пусть ненулевая мера v абсолютно непрерывна от­носительно меры μ. Тогда существует μ -измеримое множество В и δ > 0 такие, что μ (В) > 0 и v(A)≥ δ μ(A), любое A€B. Теорема:(Радона-Никодима). Если заряд v, определенный на алгебре ∑ измеримых множеств, абсолютно непрерывен относи­тельно меры μ, то существует μ-интегрируемая функция f такая, что v(A)= для любого А принадлежащего сумме.

Применение к ф-ле Ньютона-лейбница:

Формула Ньютона-лейбница f(b)-f(a)= справедлива только и только тогда, когда ф-ция f абсолютно непрерывна.

Замена переменной в интеграле Лебега:

Пусть (X, ∑_х, μ) и (Y, ∑_у, v) есть пространства с за­данными мерами и g :Y→ X — некоторое отображение. Если ото­бражение g почти сюръективно, измеримо и метрически абсолютно непрерывно, то для любой интегрируемой в X функции f справедлива формула замены переменных вида , где функция р есть производ­ная Радона — Никодима построенной выше меры μ₁ по мере v.