2. Метрические пространства. Основные примеры. Сходящиеся последовательности и последовательности Коши. Непрерывные и равномерно непрерывные отображения. Условияе Липшица.

О п р 1. на множестве называется отображение , принимающее неотрицательные значения и удовлетворяющее следующим трем аксиомам :

Значение при называется

О п р 2. называется пара , где -

множество, - метрика на нем.

На каждом множестве в метрическом пространстве естественным образом определяется метрика при .

О п р 3. Множество с определенной выше метрикой называется .

О п р 4. Последовательность точек метрического пространства называется , если существует такой элемент , что при , то есть для любого существует такой номер , что для выполняется неравенство . Точка называется . В этом случае записываем либо .

О п р 5. Последовательность точек метрического пространства называется

, если при , то есть для любого существует номер такой, что для выполняется неравенство .

Примеры метрических пространств:

1. Пространство С[а, b] состоит из числовых функций, заданных и непрерывных на отрезке [а, b]. Если х и у — непрерывные функции, то положим

ρ(х,у) = max |x(t) - y{t)|, в пределах a<t<b

Проверим выполнение аксиом метрики. Прежде всего отметим, что расстояние задано для любых функций из С[а, b].

Если ρ(х,у) = max |х(t) — y(t)| = 0, то x(t) = y(t), т.е. аксиома 1) выполнена. Выполнение аксиомы 2) очевидно. Далее имеем

(х,у) = max |x(t) –y(t)| ≤ max (|x(t) - z(t)| + |z(t) -y(t)|) ≤ max|x(t) - z{t)| + max |z(t) - y(t)| = ρ{x,z) + ρ(z,y), т. е. выполнено неравенство треугольника.

2. Пространство l₁. Элементами этого пространства являются бес­конечные последовательности чисел (действительных или комплексных)

х = (x₁,х₂,...) такие, что

Метрику зададим ф-лой:ρ(x,y)=

где у — последовательность у = (y₁,y₂,………) Выполнение аксиом 1), 2) метрики очевидно. Проверим неравенство треугольника. Для любого к имеем |х_к - у_к| ≤ |x_k - z_k| + | z_k - y_k |- Суммируя по к, получаем ρ(х,у) < ρ (x,z)+ ρ (z,у).

3.Пространство . Элементами этого пространства являются все бесконечные последовательности действительных или комплекс­ных чисел х — (х₁,х₂, ………) такие, что sup |х_к|< + , т. е. ограниченные. Метрику определим формулой ρ{х,у) = sup| х_к - у_к |. Проверка выполнимости аксиом метрики аналогична проверке в примере 1.

4. Пространства l_p, р > 1. Элементами пространства являются бесконечные числовые последовательности х = (х\,х₂,….) такие, что ^p сходится. Метрика задается формулой : ρ(x,y)= ^1/p .

5. Пространство s. Элементами пространства являются все беско­нечные числовые последовательности. Метрика задается формулой:

ρ(x,y)=

6. Пространство C_L[а, b]. Элементами пространства являются не­прерывные функции на отрезке [а, b]. Метрику зададим формулой

ρ(х,у) = .

Проверка аксиом метрики аналогична проверке в примере 2 с заменой суммы ряда интегралом.