МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

Снежинский физико-технический институт

филиал Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования

«Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

(СФТИ НИЯУ МИФИ)

Кафедра Прикладных физики и математики

Курсовая работа

по курсу «Вычислительная гидродинамика»

Тема:

Осесимметричная гидродинамика сглаженных частиц

с самогравитацией

Группа: ПМ57Д

Студентка: З.Ю. Матвеенко

Научн. руководитель: зав. кафедрой ПФМ, доктор ф.-м. наук, профессор А.Д. Зубов

Снежинск 2011

Mon. Not. R. Astron. Soc. 392, 346-360 (2009) doi:10.1111/j.1365-2966.2008.14058.x

Осесимметричная гидродинамика

сглаженных частиц с самогравитацией

Axisymmetric smoothed particle hydrodynamics with self-gravity

D. García-Senz^1,2, A.Relaño¹, R.M. Cabezón¹ и E.Bravo^1,2

Принято 8 октября 2008г., получено 23 сентября 2008г.; в оригинале 27 июня 2008г.

СОДЕРЖАНИЕ

АННОТАЦИЯ 2

1. ВВЕДЕНИЕ 3

2. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ В ОСЕСИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ 4

2.1. Коррекционные члены вблизи оси сингулярности 5

3. ДОБАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ: УДАРНЫЕ ВОЛНЫ, ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ И ГРАВИТАЦИЯ 9

3.1. Искусственная вязкость 9

3.2. Учет теплопроводности 11

3.3. Самогравитация 12

3.3.1. Коллапс однородных газовых структур при свободном падении. Вращение 16

4. ТЕСТОВЫЕ ПРИМЕРЫ 18

4.1. Эволюция теплового разрыва 20

4.2. Гравитационный коллапс политропы 21

4.3. Имплозия однородной капсулы 24

4.4. Ударная волна нагрева стенки 26

4.5. Сверхзвуковое столкновение двух потоков газа 28

5. ВЫВОДЫ 30

БЛАГОДАРНОСТИ 32

ЛИТЕРАТУРА 32

ПРИЛОЖЕНИЕ А: КОРРЕКЦИОННЫЕ МНОЖИТЕЛИ ВБЛИЗИ ОСИ 33

Словарик 35

АННОТАЦИЯ

В статье представлена осесимметричная форма гидродинамических уравнений в формализме гидродинамики сглаженных частиц (метод SPH) и тестирована с использованием идеализированных сценариев, взятых из астрофизики (коллапс при свободном падении, имплозия и последующая пульсация солнцеподобной звезды), газовой динамики (задача нагревания стенки, столкновение двух потоков газа) инерциального управляемого термоядерного синтеза (абляционная имплозия маленькой капсулы). Представлен новый материал, касающийся стандартного формализма метода SPH. Он включает численную обработку частиц, движущихся вблизи оси сингулярности, более точные выражения для искусственной вязкости и теплопроводности, а также простой способ включения самогравитации в расчеты. Алгоритм, разработанный для вычисления гравитации, не использует никаких сеток, что приводит к численной схеме, полностью совместимой с лагранжевой природой уравнений SPH.

Ключевые слова: методы: численные.

1. Введение

За те 30 лет, что прошли с момента его первого описания в работах Gingold & Monaghan (1977) и Lucy (1977), метод сглаженных частиц (SPH) показал себя как мощное и эффективное средство моделирования систем со сложной геометрии, прочно вошедшее в практику по всему миру. Особенно удачным оказалось сочетание SPH-метода с иерархическими алгоритмами, служащими для эффективной организации данных и расчетов гравитации, которое привело к появлению робастных и достоверных схем обработки сложных геометрий в трех измерениях. Несмотря на эти достижения, развитию осесимметричных приложений метода уделялось мало внимания. Однако имеется множество интересных приложений метода к системам, имеющим осесимметричную геометрию, таким как аккреционные диски, вращающиеся звезды или взрывные явления (т.е. новые и сверхновые звезды), с которыми связаны богатые возможности применения метода, когда вспышка происходит в точке на оси. Взаимодействие газа, выбрасываемого при взрыве сверхновой звезды, с межзвездной материей широко моделировалось в цилиндрических координатах как в эйлеровых кодах (Blondin, Lundqwist & Chevalier 1996), так и с кодом SPH (Velarde et al. 2006). При изучении инерциального управляемого термоядерного синтеза (ICF) коллапс дейтериевой капсулы, вызванный лазерной абляцией, можно аппроксимировать, используя двухмерную гидродинамику. Осесимметричные гидрокоды также полезны при проведении исследований решений по трехмерным кодам, так как они задают начальную конфигурацию с адекватной симметрией. В этих случаях, при изучении численной сходимости может помочь сравнение результатов, полученных с использованием трехмерного гидрокода и эквивалентного, хотя и лучше разработанного, двухмерного моделирования. Известны несколько попыток использования метода SPH в его осесимметричном варианте, различающихся по сложности формализма. И если первые алгоритмы в целом были еще достаточно грубы [см. Herant & Benz (1992) и ссылки в их работе], и не учитывали так называемые члены окружного напряжения, позднее были предложены более согласованные аппроксимации (Petscheck & Libersky 1993). Не так давно усовершенствованный формализм был представлен в работах Brookshaw (2003) и Omang, Borve & Trulsen (2006). Наиболее убедительно выглядит схема, разработанная Omang, которая включает не только члены окружного напряжения, но также и согласованное описание линии сингулярности, определяемой осью симметрии. Алгоритм, предложенный этими авторами, основывается на использовании интерполяционных ядер, специально адаптированных к цилиндрической геометрии. Хотя итоговая схема с успехом выдержала несколько испытаний и была признана надежной, ее неудобство для расчетов заключается в том, что на каждом шаге интегрирования для каждой частицы приходится численно находить эллиптический интеграл.

В данной работе мы предлагаем новую формулировку осесимметричного варианта SPH-метода, которая сохраняет многие достоинства подходов Brookshaw (2003) и Omang et al. (2006), позволяя в то же время эффективно оперировать с осью сингулярности. В нашей схеме преобразование интерполяционного ядра не требуется (мы используем кубический сплайн). Вместо этого, воспользовавшись выгодами свойств симметрии относительно оси Z, мы нашли несколько аналитических коррекционных множителей для физических величин. Эти коррекционные множители влияют на движение частиц только на расстояниях от оси Z, меньших , где – параметр длины сглаживания. Для остальных частиц уравнения SPH идентичны уравнениям, представленным в работе Brookshaw (2003). Кроме того, мы даем выражения для искусственной вязкости и новый алгоритм учета теплопроводности, учитывающий вклад окружного напряжения. Наконец, мы предлагаем оригинальный метод учета гравитации в рамках парадигмы SPH, согласующийся с бессеточной природой этого метода частиц. Текст статьи организован следующим образом. Основные гидродинамические уравнения, записанные в осесимметричных координатах, и в некоторых случаях исправленные с учетом осевых эффектов, представлены в разделе 2. В разделе 3 мы добавляем к этим уравнениям описание важных физических процессов, а именно: член искусственной вязкости для оперирования с ударной волной (раздел 3.1), выражение для теплопроводности (раздел 3.2) и алгоритм, позволяющий учитывать самогравитацию в рамках принятой гипотезы осесимметричности (раздел 3.3). Раздел 4 посвящен описанию и обсуждению пяти тестовых примеров с целью проверки предложенной схемы. Наконец, в разделе 5 представлены основные выводы из нашей работы и некоторые замечания, касающиеся ограничений разработанной схемы, а также даются прогнозы на будущее.