2.4. Резервуар під тиском

Кількість газу dm_n, яка надходить до резервуару (рис 2.18), дорівнює кількості газу dm_v, яка накопичується в ньому і яка виходить з нього dm_c, тобто:

. (2.91)

Рис. 2.18. Резервуар під тиском

Кількість газу:

. (2.92)

де V_р – об’єм резервуару; ρ – густина газу.

Враховуючи (2.92) маємо:

. (2.93)

Витрати стоку через регулюючий орган:

; (2.94)

де α_р – коефіцієнт витрат регулдюючого органу; S_р – поперечний перетин отвору цього органу; R – універсальна газова стала; T – температурс; с – показник адіабати для газу; р – тиск, Па.

. (2.95)

Оскільки dm_c=F_cdt, то враховуючи (2.90), (2.94) маємо:

. (2.96)

Приклад. Побудова математичної моделі резервуару під тиском.

Розробити математичну модель резервуару під тиском, якщо його об’єм становить V_р=10,0 м³, витрати повітря на вході F_n=5110 м³/год, коефіцієнт витрат регулюючого органу , тиск Р=0,8 МПа, температура t=25 .

Матеріальний баланс об’єкту керування записується в вигляді:

. (2.97)

Сталими параметрами нелінійної моделі є об’єм V_р резервуару, газова стала R, коефіцієнт витрати регулюючого органу , стала с, яка залежить від показника адіабати для даного газу.

До змінних параметрів відносяться: тиск Р в резервуарі, який є вихідним для об’єкту керування, температура газу Т, витрати газу F_n, площа поперечного перетину регулюючого органу S_P.

Структурно-логічна схема об’єкта керування зображена на малюнку рис. 2.19..

Рис. 2.19. Структурно-логічна схема об’єкту керування.

Рівняння (2.97) запишемо в вигляді:

. (2.98)

Змінні параметри:

(2.99)

Функцію розкладемо в ряд Тейлора навколо номінального значення температури :

. (2.100)

Рівняння статики .

Підставляючи рівняння (2.98) в (2.100), після множення та нехтування складовими малої ступені важливості, вилучення рівняння статики матимемо

(2.101)

Приведемо рівняння (2.101) до відносних величин, вводячи позначення:

Тоді, розділивши рівняння (2.101) на , матимемо:

(2.102)

Позначимо – стала часу;

– коефіцієнти передачі.

Тоді рівняння математичної моделі об’єкту матиме вигляд:

. (2.103)

Сталу с знаходимо за формулою . Показник адіабати для двохатомних газів k=1,4 (в нашому випадку). Отже, с=0,684.

З рівняння статики знаходимо поперечний перетин регулюючого органу:

м². (2.104)

Знайдемо сталу часу об’єкту:

c.

Сталу часу знайдено для випадку, коли тиск змінюється від 0,8 МПа до атмосферного. Враховуючи обмежуючі умови на відхилення величини тиску від номінального значення, стала часу буде меншою. Якщо, наприклад, у відповідності до технологічного процесу зміна тиску в резервуарі має бути 20% від номінального значення, стала часу буде c.

Коефіцієнти передачі об’єкта будуть:

;

.

Рівняння математичної моделі матиме вигляд:

Передаточні функції щодо відповідних каналів впливу будуть:

.

Час запізнення об’єкта c.

Час запізнення для такого об’єкта значно менший за сталу часу та для практичних розрахунків ним можна знехтувати.