2.3. Рівняння теплового і матеріального балансів

За динамічними властивостями об’єкти керування відносяться до інерційних із запізнюванням. З точки зору елементарних динамічних ланок об’єкти керування поділяються на інтегруючі і аперіодичні першого та другого порядку, інтегродиференціальні, з внутрішніми зворотніми зв’язкоми, а також з послідовними і паралельними зв’язками.

При розробці математичних моделей, які описують нестаціонарні процеси, виходять з диференціальних рівнянь матеріального, теплового (чи енергетичного) балансів. Тобто маса, енергія не може зникнути, а їх кількість, яка надходить до об'єкту керування дорівнює кількості, яка накопичується в ньому і виходить з нього тим чи іншим шляхом.

З аналізу технологічних процесів, як об'єктів керування основні технологічні об'єкти можна розглянути як масообмінні, теплообмінні, тепломасообмінні та з хімічними перетвореннями.

Трубопровід, як об'єкт керування, відноситься до масообмінного об'єкту. Зміна навантаження (витрат) або поперечного перетину потоку призводить до зміни тиску, тобто має місце перехідний процес зумовлений ємністю трубопроводу. Як іоб'єкт ідеального витіснення він становить собою ланку чистого запізнення з часом . Але на підставі аналізу гідродинамічних процесів трубопровід відноситься до інерційного об'єкту, що описується рівнянням Нав’є - Стокса:

, (2.76)

де - густина рідини; - лінійна швидкість потоку в напрямі х; t – час; - параметр, що характеризує силу тяжіння; р – тиск; - коефіцієнт динамічної в’язкості.

Оскільки , F – об’ємні витрати, S – поперечний перетин, то

. (2.77)

Зміна витрат визначається зміною маси речовини у трубопроводі , що залежить від тиску, характеризує силу тертя – зміну витрат за напрямом руху рідини за рахунок гідродинамічного опору.

Тобто рівняння матеріального балансу буде мати вигляд:

, (2.78)

де - кількість речовини на вході в об'єкт; - кількість речовини, що накопичується в ньому; m_c – кількість речовини, яка виходить з об'єкту.

. (2.79)

Згідно закону Пуазейля маса речовини, що виходить з об'єкту (витрата тиску на тертя) залежить від гідродинамічного опору та швидкості руху рідини:

. (2.80)

де v_с – середня швидкість потоку; D – внутрішній діаметр труби; g = 9.81 м/с² .

Оскільки , S₀ - поперечний перетин отвору регулюючого органу, матимемо:

. (2.81)

Оскільки:

то . (2.82)

Тобто вираз матеріального балансу для трубопроводу буде:

. (2.83)

Для трубопроводів з газовим потоком рівнянням матеріального балансу буде мати вигляд:

, (2.84)

а врахування, що матимемо:

. (2.85)

Апарат з рідиною має одну вихідну величину – рівень. Якщо стік відсутній (рис 2.17 б), то кількість рідини, яка надходить до апарату , дорівнює кількості рідини, яка в ній накопичується , тобто .

Кількість рідини, яка накопичується в апараті:

. (2.86)

де ρ – густина рідини; S – поперечний перетин апарату; L – висота рівня рідини.

Рис. 2.17. Ємність з рідиною : із стоком (а), без стоку (б)

Підставивши (2.86) у вираз , з врахуванням dm_n= матимемо:

(2.87)

Якщо апарат має стік (рис24.17 а), то рівняння матеріального балансу матиме вигляд:

. (2.88)

Тоді збільшення рівня рідини призводить до підвищення гідростатичного тиску і впливає на витрати стоку. Тоді маса dm_с є функцією рівня рідини L. Залежність витрати стоку від рівня описується рівнянням:

. (2.89)

де α_р – коефіцієнт витрати регулюючого органу (РО); S_р – поперечний перетин РО.

Згідно з (2.86), (2.89) рівняння (2.88) матиме вигляд:

. (2.90)