1.4. Статичні моделі, статичні характеристики

Об’єкт керування, як і інші об’єкти моделювання, може знаходитися в сталому (стаціонарному, статичному) режимі та в динамічному (нестаціонарному, перехідному) режимі. Статистичний режим та динамічний режим об’єкту керування знаходяться між собою в складному взаємозв’язку. Статичний, сталий режим можна розглядати як окремий випадок більш поширеного перехідного режиму. Об’єкти керування, як правило, знаходиться в нестаціонарних перехідних режимах, і досить рідко у сталому режимі. Але і динамічний режим можна розглядати як перехідний між двома сталими, статичними режимами системами. Обидва ці положення є вірними і широко використовуються.

Сталий, статичний режим характеризується узгодженістю всіх матеріальних та енергетичних входів і виходів об’єкта, та незмінністю в часі всіх його параметрів, що визначають даний режим роботи. Узгодити входи та виходи об’єкту, для більшості об’єктів моделювання, можна на різних рівнях значень їх визначальних параметрів, що визначаються. Таким чином, можна побудувати залежності між входами та виходами для каналів, що викликають інтерес. Проте є нестійкі об’єкти, які не мають сталих режимів, через що в них відсутня залежність між входами та виходами.

Функціональну залежність виходів об’єкта від входів в статичних режимах роботи називають його статичною моделлю:

. (1.10)

Статичну модель, що відображає всі чинники об’єкта моделювання називають повною статичною моделлю. Якщо модель відображає лише окремі зв’язки в об'єкті, то таку модель називають частинною. Одним з прикладів такої частинної моделі може бути функціональний зв’язок одного вихідного параметра зі всіма вхідними . У більшості випадків як статичні моделі використовуються частинні моделі.

Функціональну залежність вихідного параметру від вхідного в статичному режимі називають статичною характеристикою. Статична характеристика є математичною моделлю одного каналу впливу об’єкту моделювання, при його функціонуванні в сталих режимах. Вона виражається залежністю типу . Така характеристика показує, як буде змінюватися вихідна величина в залежності від зміни вхідної величини у статичних режимах, коли перехідні процеси в об'єкті закінчуються.

Статичні характеристики можуть бути представлені аналітично, графічно (залежність виходу від входу) та у вигляді стохастичних (імовірнісних) залежностей.

Найбільш простою аналітичною залежністю, що відображає статичну характеристику є лінія:

, (1.11)

де - початкове значення вихідної величини , при , - коефіцієнт передачі об’єкта для каналу впливу, що розглядається.

Проте залежність між виходами та входами об’єкта частіше є нелінійною (параболічною, гіперболічною, експоненціальною, логарифмічною та ін.). Найчастіше нелінійні статичні характеристики представляють поліномом:

, (1.12)

де - коефіцієнти статичної моделі.

Для об’єктів з просторовим розподіленням параметрів, модель статики буде мати вигляд диференціального рівняння. Наприклад, для одномірного розподілення температури по товщині стінки в напряму координати х рівняння статики, яке пов’язує температуру стінки у точці з координатою х, тобто з температурами стінки на її поверхнях має вигляд:

, (1.13)

де А, К₁,К₂ – коефіцієнти рівняння статики.

Однією з найпоширеніших форм представлення статичної характеристики є функціональна залежність однієї вихідної величини від іншої чи кількох вихідних

або у операторній формі

,

де –вектор виходів, –вектор входів, А – функціональний оператор.

Статичні моделі можуть бути отримані аналітичним (розрахунковим), експериментальним та експериментально-аналітичним методом.

Аналітичний метод розробки статичних моделей чи характеристик, базується на дослідженні внутрішніх залежностей в об’єкті моделювання. У цьому випадку слід мати детальні відомості про об’єкт, його конструкцію, технологічні параметри, вхідні та вихідні величини та ін. Отримана аналітичним методом модель об’єкту має структуру, досить близьку до структури самого об’єкту, дозволяє робити узагальнення для класу об’єктів, близьких за конструкцією та фізичними властивостями, але точність такої моделі невисока.

Експериментальний метод отримання математичних моделей ділиться на детермінований та стохастичний.

Детермінований метод базується на передумові наявності визначених, закономірних взаємозв’язків між вхідними та вихідними параметрами. Метод націлений на визначення цих залежностей. За наявності випадкових впливах їх необхідно відсіяти і виділити корисний сигнал, тобто виконати фільтрацію сигналу чи його розгалуження. Експериментальна детермінована модель статики, як правило, має високу точність, але її структура не відповідає структурі об’єкту, а узагальнення властивостей класу об’єктів за такими моделями чи характеристиками ускладнене.

Експериментально–статичний метод отримання статичних характеристик припускає наявність імовірнісних залежностей між вхідними і вихідними параметрами об’єкта. При розробці такої моделі вважається, що мають місце випадкові вихідні впливи і випадкові вихідні реакції з певними законами їх розсіювання. Потрібно отримати певну імовірнісну функцію, яка і є моделлю. У цьому методі точність отриманої характеристики суттєво залежить від кількості експериментальних даних та вірності вибраного закону їх розподілу. Цей метод дозволяє отримати модель чи характеристику без додаткових збурень в процесі нормальної експлуатації об’єкту моделювання, що використовується в алгоритмах поточної ідентифікації, тобто в алгоритмах отримання чи уточнення моделей об’єктів автоматичними системами керування в процесі їх роботи. Цей метод є трудомістким, а точність отриманих цим методом моделей –невисока, проте його слід використовувати у тих випадках, коли інші методи використати неможливо.

Експериментально–аналітичний метод отримання статичних моделей базується на використанні структури аналітичних моделей, та коли визначаються коефіцієнти таких моделей експериментальним шляхом. Він трудомісткий, але отримані таким методом моделі мають структуру, відповідну структурі об’єктів моделювання (як аналітичні моделі) і високу точність (як експериментальні моделі).