1.3. Статичні та динамічні математичні моделі

Математичні моделі є більш універсальними, дешевими та зручними у застосуванні. Дослідження математичних моделей доцільно використовувати на ЕОМ, що дає значний виграш у часі та коштах, тому вони є більш прогресивними у порівнянні з фізичними моделями, вони все частіше використовуються при розробці та проектуванні технологічних процесів і виробництв, застосовуються в САПР, АСКТП, АСНД. Часто ціллю дослідження об’єкта та системи керування є їх математичне моделювання.

Математичне моделювання включає в себе одержання, дослідження та застосування математичних моделей. До математичних моделей, що застосовуються в системах керування, пред’являються вимоги простоти, можливості розв’язування в реальному масштабі часу (рівного за часом перебігу процесу), адаптування. Такі математичні моделі повинні пов’язувати вихідні визначальні параметри об’єкту з вхідними керуючими параметрами, та параметрами збурення. Вплив конструктивних а іноді і технологічних параметрів на визначальні параметри для таких моделей є несуттєвим, що пов’язано з їх подальшим застосуванням. Математична модель об’єкту керування в алгоритмах керування повинна випереджувати хід процесу через те, що модель повинна прогнозувати ситуацію, щоб можна було виробляти та реалізовувати керуючий вплив на неї. Якщо модель об’єкту керування не забезпечує випередження процесу в самому об’єкті, то її застосування в алгоритмі керування не має ніякого сенсу. З цієї причини обов’язковою є наступна вимога до таких моделей – вони повинні функціонувати в реальному масштабі часу. Математична модель не повинна займати багато машинного часу, оскільки керуюча ЕОМ виконує значну кількість функцій, розв’язує багато задач.

У процесі експлуатації, з часом, об’єкти керування часто змінюють свої властивості, тому для вирішення задач керування математична модель, що замінює об’єкт, повинна бути досить точною, з цієї причини використовують процедуру адаптації моделі. Отримані таким чином моделі називають адаптивними. У них періодично проводиться підлаштування коефіцієнтів або структури, для того щоб їх властивості відповідали властивостям об’єкту моделювання, що змінюються в процесі його експлуатації.

Всі математичні моделі поділяються на статичні та динамічні. Статичні моделі відображають статичні, стаціонарні або сталі режими роботи об’єкту моделювання, в яких його параметри не залежать від часу. В статичних моделях має місце залежність функції від аргументу, виходу об’єкта від його входу.

Об’єкт моделювання схематично можна представити розрахунковою схемою рис. 1.1.

Рис. 1.1. Розрахункова схема об’єкта моделювання.

Входи об’єкта х₁,х₂…х_n, виходи Y₁,Y₂…Y_m . Статична модель такого об’єкта може бути представлена системою рівнянь:

(1.6)

В операторній формі така статична модель може бути представлена у вигляді:

(1.7)

де А – функціональний оператор перетворень; Y – вектор вихідних параметрів; х – вектор вхідних параметрів.

В статичних режимах проводять розрахунки технологічних, фізико – хімічних процесів, узгоджують потоки речовини та енергії, складають та аналізують рівняння матеріальних, енергетичних балансів та 9н.. Статичні моделі використовуються також при розробці системи керування в алгоритмах розрахункових параметрів, в алгоритмах статичної оптимізації і при задаванні початкового статичного режиму в динамічних процесах.

Динамічні моделі описують несталі, перехідні або динамічні режими роботи об’єктів, такі їх режими, в яких їх визначальні параметри змінюються у часі. Схематично динамічну модель можна представити системою рівнянь динаміки:

(1.8)

Динамічну модель, як і статичну, можна представити в операторній формі:

(1.9)

де x(t), Y(t) – вектори вихідних та вхідних змінних; М – функціональний оператор системи автоматичного регулювання та керування.

Системи автоматичного регулювання та керування активно працюють в динамічних системах, тому динамічні моделі об’єктів керування використовують переважно для їх розробки та дослідження.

Математичні моделі об’єктів можна отримати аналітичним (розрахунковим) та експериментальним методами. Аналітичні методи математичного моделювання базуються на найбільш загальних законах природи: закони збереження матерії та енергії, фізичних законах (наприклад, Ньютона), залежностях, що описують теплопередачу, гідростатику, гідродинаміку та 10н..

В експериментальних методах розробки математичних моделей використовують детерміновані та стохастичні підходи. Детермінований метод моделювання використовується за наявності взаємно однозначної залежності між параметрами стану та виходами об’єкту моделювання, а увипадку її відсутності (внаслідок шумів та інших причин) використовуються стохастичні методи моделювання. Класифікація математичних моделей на основі методу їх отримання представлена на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Класифікація математичних моделей на основі методів отримання

Експериментальний детермінований метод отримання динамічних моделей поділяється на метод часових характеристик та на частотний метод; а метод часових характеристик – на метод перехідних характеристик, імпульсних характеристик та хвильових імпульсних характеристик. Експериментальний  стохастичний метод отримання статичних характеристик, поділяється на метод активного і пасивного експерименту, та 11н..

Існують також методи дослідження математичних моделей об’єктів. Для цього використовуються ручний та машинний методи дослідження, які в свою чергу поділяються на ряд підпорядкованих їм методів. Наприклад, машинні методи дослідження поділяться в залежності від типів машин, що використовуються (аналогові, цифрові обчислювальні машини, або спеціальні моделюючі установки).

Реалізовані на обчислювальних машинах моделі входять до класу математично подібних моделей рис. 1.3.

Рис. 1.3. Класифікація математично подібних моделей

Математичне моделювання систем регулювання та керування виконується під час їх розробки та дослідження. Математичні моделі таких систем ще називають алгоритмами функціонування. Під час їх створення необхідно знати склад системи, її структуру та математичні моделі елементів. Дані стосовно складу і структури системи можна отримати з функціональної схеми системи, із структурної схеми, блок-схеми.

Необхідні дані для моделювання системи регулювання чи керування, найбільш зручно задавати структурною схемою. Якщо частина елементів функціонуючої системи задається програмними засобами на ЕОМ то їх можна відобразити як елементи на структурній схемі.

Під адекватністю моделей розуміють їх відповідність об’єктам моделювання, тобто можливістю застосування моделей замість об’єктів моделювання у певних задачах. Для оцінки адекватності математичних моделей потрібно виконати складне дослідження, пов’язане з розрахунками та експериментами на об’єктах моделювання. Адекватність математичних моделей визначають шляхом зіставлення результатів розрахунку реакції моделі з реакцією самого об’єкта моделювання за тих же умов, та на теж саме збурення. Одні і ті ж моделі за різних умов можуть бути як адекватними, так і неадекватними.