Решение слау методом обратной матрицы

Воспользуемся матричным представлением системы Ax=b. Если определитель матрицы не равен нулю, решение определяется следующим образом:

x=A^-1b.

Здесь А^-1 – обратная матрица, вычисление которой в Scilab реализуется функцией inv.

При решении практических задач иногда бывает необходимо не просто решить систему, а сделать это определенным способом, чтобы воспользоваться промежуточными результатами, полученными при его использовании.

Решение слау методом Крамера

По правилу Крамера решение системы строится следующим образом:

x_i=Δ_i/Δ,

где Δ – определитель матрицы системы, Δ_i – определитель матрицы, полученной из исходной заменой i-го столбца матрицы системы столбцом свободных членов.

Решение слау методом Гаусса

Суть метода Гаусса в том, что исходная система эквивалентными преобразованиями приводится к виду, удобному для получения решения.

Метод Гаусса состоит из двух этапов. На первом, называемом прямым ходом, матрица системы посредством линейных преобразований (перестановок, сложения уравнений, их домножение на число) приводится к треугольному виду. На втором этапе (обратный ход) эта матрица преобразуется в единичную. В результате всех этих преобразований правый столбец будет содержать решение системы.

Последовательность выполнения

Открыть программу.
Выполните матричные вычисления задание 1.

2.1.Выполните сложения, вычитания и умножения (скалярные) матриц А и В.

2.2.Транспонировать матрицы А і В.

2.3.Вычислить скалярный и векторный произведения векторов матриц А і В (для вычиления выбрать произвольные три вектора матрицы А и три – матрицы В).

2.4.Найдите обратные матрицы А і В.

Задание 2: Решить систему линейных уравнений Ах=b тремя способами: методом обратной матрицы, методом Гаусса и методом Крамера.

Метод обратной матрицы.

3.1.введите матрицу коэффициентов A(n,m), где n количество строк, m –количество столбцов,

3.2.введите столбец свободных членов b(n) (обратите внимание, столбец правых частей вводится именно как столбец, а не строка),

3.3.рассчитайте по формуле x=A^-1b (результат вектор значений х),

3.4.проверьте результат, с этой целью исходную матрицу коэффициентов A системы умножим на найденное решение (вектор x) и получим, как и должны были, правый столбец b. Для того, чтобы он был выведен в виде строки, воспользуйтесь операцией транспонирования.

Метод Крамера.

4.1.введите матрицу коэффициентов A,

4.2.введите столбец свободных членов b,

4.3.присвойте матрице А1 значения матрицы А,

4.4.в матрице А1 замените 1 столбец на столбец b,

4.5.найдите определитель пеобразованной матрицы А1, присвойте полученное значение элементу массива d(1),

4.6.повторите пункты 4.3 – 4.5 и определите А2, d(2) … ,

4.7. найдите вектор х = d/определитель исходной матрицы А.

Метод Гаусса.

5.1. получите новую матрицу С путем преобразования исходной матрицы и столбца свободных членов с помощью функции rref(A,b), (получите справку по этой функции, узнайте ее действия)

5.2. вектор х последний столбец матрицы С.

Сравните результаты трех методов решения системы линейных уравнений.
Сохраните расчеты во встроенном редакторе SciNotes в трех файлах. Запустите какой-нибудь из файлов на выполнение.
Задание 3. Матрицы и вектор заполняются случайными числами от –10 до и 10 округляются до десятых (размерность матриц и соответственно вектора одинаковые). Выполите задание согласно варианта.
Сохраните вычисления.

Варианты заданий 1

№	Матриці	№	Матриці
1	А В	11	А В
2	А В	12	А В
3	А В	13	А В
4	А В	14	А В
5	А В	15	А В
6	А В	16	А В
7	А В	17	А В
8	А В	18	А В
9	А В	19	А В
10	А В	20	А В