70. Производная степенно-показательной функции

Определение. Функция вида

, ,

где и основание, и показатель изменяются вместе с независимой переменной, называется степенно-показательной.

Найдем ее производную .

1) Прологарифмируем данную функцию:

.

2) Продифференцируем полученное тождество. С одной стороны:

.

С другой стороны:

.

Следовательно:

.

Операция, состоящая в последовательном применении к функции сначала логарифмирования (по основанию ), а затем дифференцирования, называется логарифмическим дифференцированием, а ее результат

– логарифмической производной от функции .

Пример. . Найти .

Решение.

1) .

2) С одной стороны: ;

С другой стороны:

.

Следовательно, .

80. Дифференцирование неявной функции

Определение. Неявной функцией независимой переменной называется функция, значения которой находятся из уравнения, связывающего и и не разрешенного относительно .

Уравнение функции, заданной неявно, имеет вид

. (3)

Пусть функция задана неявно уравнением (3). Тогда производную от этой функции можно найти, дифференцируя по обе части уравнения с учетом того, что есть функция от (определяемая этим уравнением).

Пример. Дана функция . Найти .

Решение. Функция задана неявно. Дифференцируем обе части уравнения по :

,

,

отсюда .

90. Производные высших порядков

Допустим, что функция имеет производную в некотором интервале независимой переменной . Производная от (если она существует) называется производной второго порядка или второй производной от первоначальной функции и обозначается :

.

Таким же образом производной третьего порядка или третьей производной от функции называется производная от производной второго порядка.

Определение. Производной -го порядка называется производная от производной -го порядка

.

Все свойства, которые имеют место для первой производной функции, сохраняются и для второй производной и для производной -го порядка.

Пример.

, , , …,

.

100. Основные теоремы для дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке этого отрезка (т.е. ), то, если в точке существует производная , то она обязательно равна 0: .

Доказательство. Предположим, что функция непрерывна на отрезке и достигает своего наибольшего значения в точке , которая является внутренней точкой отрезка . Пусть функция дифференцируема в точке . Покажем, что . Действительно:

.

Существование означает, что в точке существуют оба односторонних предела функции , которые равны между собой. Рассмотрим эти пределы:

: ; (4)

: . (5)

. Из результатов (3) и (4) следует, что , следовательно, .

Геометрический смысл.

Касательная будет параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Ферма (рис. 18).

Теорема Ролля. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале и при этом , т.е. принимает одинаковые значения на концах отрезка, то существует по крайней мере одна точка такая, что .

Доказательство. Рассмотрим два случая.

1) для любого ;

2 ) , тогда по свойству непрерывных функций достигает своего наибольшего и наименьшего значений на отрезке . Тогда хотя бы одно из этих значений достигается во внутренней точке отрезка . Обозначим эту точку через : . Функция дифференцируема на всем интервале , а значит и в точке . Следовательно, по теореме Ферма, .

Геометрический смысл

Если на концах отрезка функция дифференцируема и принимает одинаковые значения, то найдется хотя бы одна точка, где касательная параллельна оси – геометрическое истолкование теоремы Роля (рис. 19).

Теорема Лагранжа. Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , тогда существует такая точка , что

.

Доказательство.

Рассмотрим функцию , которая, очевидно, непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Рассмотрим, какие значения функция принимает на концах отрезка.

.

.

Получили , следовательно, функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля. По теореме Ролля, существует точка : . Имеем:

.

.

Геометрический смысл.

На отрезке найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к кривой будет параллельна хорде, стягивающей концы дуги кривой ( – тангенс угла наклона хорды, которая стягивает концы кривой) (рис. 20).