20. Основные свойства производной
Теорема 1. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема и
.
Доказательство.
.
Теорема 2. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема и
.
Доказательство.
.
Теорема 3. Пусть функции , дифференцируемы. Тогда функция будет дифференцируема (там, где она существует) и
.
Доказательство.
.
30. Производная сложной функции
Теорема. Пусть функция
определена в некоторой окрестности
и дифференцируема в точке
;
функция
определена в точке
:
некоторой окрестности
и дифференцируема в точке
.
Тогда
будет дифференцируема в точке
,
причем
.
Доказательство. Дадим
приращение
.
Тогда
и
получат соответственно приращения
и
.
Предположим,
что
при
не принимает значений, равных нулю.
Тогда рассмотрим:
.
Т.к. функция
дифференцируема в точке
,
а, следовательно, и непрерывна в точке
,
то при
также и
.
Следовательно,
.
Замечание. Теорема остается справедливой и в случае, если будет обращаться в нуль.
Пример. Найти производную
функции
.
Решение.
.
40. Производная обратной функции
Теорема. Пусть функция
определена в точке
и некоторой ее окрестности и монотонна
в этой окрестности (т.е. либо возрастает,
либо убывает). Тогда, если функция
дифференцируема в точке
,
то обратная функция
будет дифференцируема в точке
:
и производная обратной функции:
.
Доказательство. Рассмотрим
точку
и значение функции
.
Рассмотрим точку
из окрестности точки
и
.
– приращение аргумента, тогда
будет меняться:
.
.
Замечание. Если
,
то теорема в этом случае не работает.
50. Уравнения касательной и нормали к линии
Составим
уравнение касательной к линии
,
являющейся графиком функции
в ее точке
,
где
(рис. 17). Т.к. касательная проходит через
точку
и имеет угловой коэффициент, равный
,
то ее уравнение имеет вид
. (1)
Определение. Нормалью к линии в ее
точке
называется прямая, проходящая через
точку
перпендикулярно касательной данной
линии, построенной в точке
.
Т.к. нормаль к линии
в точке
проходит через точку
и имеет угловой коэффициент, равный
,
то ее уравнение имеет вид
. (2)
60. Дифференцирование элементарных функций
1. 
–
: 
.
Д
оказательство. 
.
2.
: 
.
Доказательство.
.
(*): 
.
Т
аким
образом,
.
3. 
: 
(частный случай п.2).
4.
: 
.
Доказательство.
.
Т
аким
образом,
.
5. 
: 
(частный случай п.4).
6.
: 
.
Доказательство.
.
Т
аким
образом,
.
7.
: 
.
Доказательство.
.
Т
аким
образом,
.
8.
: 
.
Доказательство.
.
Т
аким
образом,
.
9. 
: 
.
Доказательство.
.
Т
аким
образом,
.
10. 
: 
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
– обратная функция. Отсюда
.
Следовательно, по теореме о производной
обратной функции:
.
Т
аким
образом,
.
Замечание. Корень
берется со знаком “+”, потому что
значения функции
лежат в интервале
,
а
в этом интервале положителен. При
,
т.е. для
производной не существует, хотя сама
функция
в этих точках определена.
11. 
: 
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
– обратная функция. Следовательно:
.
Т
аким
образом,
.
12. 
: 
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
– обратная функция. Следовательно:
.
Т
аким
образом,
.
13. 
: 
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
– обратная функция. Следовательно:
.
Т
аким
образом,
.
14.
: 
.
Доказательство. Пусть
,
тогда
.
Следовательно:
.
Т
аким
образом,
.