§ 12. Предел дробно-рациональной функции
Определение. Дробно-рациональной
функцией называется функция вида
,
где
– многочлен
-й
степени относительно переменной
,
– многочлен
-й
степени.
Пример 1.
Вычислить
.
Решение.
.
Пример
2. Вычислить
.
Решение.
.
Пример 3. Вычислить
.
Решение.
.
Пример 4. Вычислить
.
Решение.
.
Пример 5. Вычислить
.
Решение.
.
Пример 6. Вычислить
.
Решение.
.
§ 13. Первый замечательный предел
Теорема. 
.
Д
оказательство. Возьмем
окружность радиуса 1 (Рис.14) и предположим,
что величина
равна
радиан, причем
.
1) Покажем, что .
,
,
,
.
У
2) Покажем,
что
.
,
.
Из рис. 67
видно, что
.
,
,
,
следовательно,
.
Разделим
полученные неравенства на
:
Устремим :
§ 14. Второй замечательный предел
Рассмотрим функцию
.
Эта функция монотонно возрастает. Можно
доказать, что она имеет предел при
,
т.е. существует
.
Этот предел называется вторым замечательным пределом.
§ 15. Сравнение бесконечно малых функций
Пусть даны функции и , б/м при .
Определение 1. Если
,
то говорят, что функция
имеет больший порядок малости при
,
чем функция
.
Определение 2. Если
,
то говорят, что функция
имеет меньший порядок малости при
,
чем функция
.
Определение 3. Если
,
то говорят, что функции
и
имеют одинаковый порядок малости при
.
При этом, если
,
функции
и
называют эквивалентными (обозначение:
)
при
.
Замечание. Можно доказать:
при
.
Пример.
.
§ 16. Непрерывность функции
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если выполняются условия:
1) определена в точке и некоторой ее окрестности;
2) существует
;
3) этот предел
равен значению функции в точке
:
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если эта функция определена в некоторой окрестности точки и если
,
т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Определение 3. Функция называется непрерывной на отрезке (интервале), если она непрерывна в каждой точке данного отрезка (интервала).
Замечание (к определению 3). Существует понятие непрерывность слева (справа). В этом случае в исследуемых точках вычисляются односторонние пределы. Если не выполняется хотя бы одно из условий определений 1, 2, то функция не будет непрерывна в точке , и точка в этом случае называется точкой разрыва функции .
Точки разрыва принято подразделять на два типа.
Определение 4. Точка (точка разрыва) называется точкой разрыва I-го рода функции , если существуют односторонние пределы этой функции при слева и справа. Все остальные точки разрыва относятся к точкам разрыва II-го рода.
Определение 5. Точка разрыва I-го рода функции называется устранимой точкой разрыва, если существуют односторонние пределы функции в точке и они равны:
.
Если
,
то говорят, что функция
совершает в точке
скачок на величину
.