§ 10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
Определение 1. Функция
называется б/м функцией при
,
если
.
Пример. Функции
и
являются б/м при
,
т.к.
и
.
Теорема 1. Пусть , – б/м функции при . Тогда:
– б/м функция при
.
Доказательство. Рассмотрим произвольное число . Тогда:
для
существует
такое, что для любого
:
;
для
существует
такое, что для любого
:
.
Пусть
.
Тогда для любого
имеем:
.
Т
.е.
для любого
нашли
такое, что для всех
выполняется неравенство
.
Следовательно,
,
т.е.
– б/м функция при
.
Теорема
2. Пусть
– б/м функция при
и функция
– ограничена в
,
тогда
– б/м функция при
.
Доказательство. Пусть – б/м функция при , следовательно, .
– ограниченная в
функция, следовательно, существует
:
для любого
.
Для любого
рассмотрим
.
По определению предела для него существует
такое, что для любого
.
Пусть
,
тогда для любого
:
.
Таким
образом, для любого
существует
такое, что для любого
:
.
Следовательно,
,
т.е.
– б/м функция при
.
Теорема 3. Пусть
– б/м функция при
,
функция
имеет предел
.
Тогда:
– б/м функция при
.
Доказательство. По условию:
.
Согласно
теореме 2, если умножить б/м функцию
на ограниченную, то получится б/м функция.
Докажем, что
– ограниченная в
функция.
,
следовательно, для любого
существует
такое, что для любого
:
.
Отсюда получаем:
,
тогда
.
Пусть
,
тогда:
,
.
Т
аким
образом, функция
– ограничена в
,
следовательно, по теореме 2,
– б/м функция при
.
Определение 2. Функция
называется б/б функцией при
,
если для любого сколь угодно большого
наперед заданного числа
существует
такое, что для любого
:
.
Обозначение: 
.
Теорема 4. Пусть – б/б функция при . Тогда функция является б/м функцией при .
Д
оказательство. Пусть
– б/б функция при
,
т.е. для любого
,
а значит и для
существует
такое, что для любого
:
,
следовательно,
является б/м функцией при
.
Теорема 5. Пусть
– б/м функция при
.
Тогда функция
является б/б функцией при
.
Д
оказательство. Для
любого
(
– произвольное, сколь угодно большое
число) существует
.
По определению б/м функции имеем: для
любого
существует
такое, что для любого
:
.
Таким образом, получили, что для любого
:
,
следовательно,
является б/б функцией при
.
§ 11. Основные теоремы о пределах
Теорема 1. Если функция
имеет предел в точке
,
равный
,
т.е.
,
то функцию
можно представить в виде
,
где функция
– б/м функция при
.
Доказательство. Пусть .
Р
ассмотрим
.
Докажем, что
– б/м функция при
.
То, что
означает, что для любого
существует
такое, что для любого
:
,
следовательно,
– б/м функция при
.
Теорема 2 (обратная к теореме 1). Если функцию можно представить в виде суммы постоянного числа и некоторой функции – б/м при , т.е. , то существует .
Д
оказательство. Пусть
функция
представима в виде
,
где
– б/м функция при
.
Это значит: для любого
существует
такое, что для любого
:
,
следовательно, существует
.
Теорема 3. Пусть и .
Тогда функция
имеет в точке
предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
,
где
– б/м функция при
,
,
где
– б/м функция при
.
Тогда: 
.
Т
.к. 
(
)
– б/м функция при
,
следовательно,
(
)
– б/м функция при
.
Тогда по теореме 2:
.
Теорема 4. Пусть и .
Тогда функция
имеет в точке
предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Тогда:
.
Сумма б/м функций есть б/м функция, т.е.
,
где
– б/м функция при
.
Тогда по теореме 2:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:
.
Следствие 2. Предел функции
в степени
(
):
.
Теорема 5. Пусть и .
Тогда функция
имеет предел
.
Доказательство. По теореме 1 имеем:
, где – б/м функция при ,
, где – б/м функция при .
Рассмотрим:
– б/м функция
следовательно,
– б/м функция при
.
– б/м функция
– б/м функция при
.
По теореме 2:
,
следовательно, по теореме 3 о б/м функциях
– б/м функция при
.
Таким образом, получили:
.