§ 5. Понятие о пределе переменной
Рассмотрим переменную величину , которая изменяется следующим образом:
: 
;
;
;
…
;
;
;
…
При последовательном изменении значение
приближается к значению
:
: 
;
;
;
…
В этом случае говорят, что величина
:
.
Определение. Постоянная
величина
называется пределом переменной
,
если разность
есть б/м величина, т.е.
– б/м величина.
§ 6. Окрестность точки
Определение 1. Окрестностью точки
радиуса
(
)
называется множество всех действительных
чисел
таких, что
(рис. 11а).
Определение 2. Проколотой
окрестностью точки
радиуса
(
)
называется множество всех действительных
чисел
таких, что
(рис. 11б).
Обозначения: 
–
-окрестность
точки
;
– проколотая
-окрестность
точки
.
§ 7. Предел функции в точке и в бесконечности
Пусть дана функция
,
определенная в проколотой окрестности
точки
.
Определение 1. Число
называется пределом функции
в точке
(при
),
если для любого сколь угодно малого
числа
существует
такое, что для всех
,
удовлетворяющих соотношению
,
выполняется неравенство
.(Рис.
12)
Обозначение: 
.
Геометрический смысл предела
Пример 1. Доказать:
.
Доказательство. Для
любого
имеем:
.
Таким
образом, для любого
существует
такое, что как только
.
Следовательно,
.
Определение
2. Число
называется пределом функции
при
,
если для любого сколь угодно малого
числа
существует такое
,
что для всех
выполняется неравенство
.(Рис.13)
Геометрический смысл предела
Пример
2. Доказать:
.
Доказательство. Для
любого
имеем:
.
Тогда
для любого
существует такое
,
что как только
.
Следовательно,
.
§ 8. Односторонние пределы функции в точке
Определение 1. Число
называется пределом функции
при
слева, если для любого сколь угодно
малого числа
существует такое
,
что для всех
,
удовлетворяющих соотношению
,
выполняется неравенство
.
Обозначение: 
.
Определение
2. Число
называется пределом функции
при
справа, если для любого сколь угодно
малого числа
существует такое
,
что для всех
,
удовлетворяющих соотношению
,
выполняется неравенство
.
Обозначение: 
.
Замечание. Если функция имеет в точке оба односторонних предела, которые равны между собой и равны числу , то функция имеет в точке предел равный .
§ 9. Свойства функций, имеющих предел
Определение. Функция
называется ограниченной на некотором
множестве
,
если для любого
выполняется неравенство
,
где
– некоторая положительная константа.
Теорема 1. Пусть функция
имеет предел в точке
,
тогда существует проколотая окрестность
,
в которой функция
ограничена.
Доказательство. Пусть
.
Это значит, что для любого
и для
существует
такое,
что для любого
выполняется неравенство
,
т.е.
.
Пусть
.
Тогда для любого
выполняется неравенство
,
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Если функция имеет предел при , то этот предел единственный.
Доказательство. Предположим,
что функция
при
имеет два различных предела, т.е.
и
.
, следовательно:
для любого
существует
такое, что для любого
:
. (1)
, следовательно:
для любого
существует
такое, что для любого
:
. (2)
Пусть
.
Тогда для любого
:
будут одновременно выполняться и
неравенство (1), и неравенство (2).
Для этих значений имеем:
.
По свойству модулей имеем:
.
С
ледовательно,
,
т.е.
.
Следовательно, если предел у функции
существует, то он единственный.
Теорема 3 (теорема о двух милиционерах). Пусть
даны три функции
,
,
,
которые определены в некоторой окрестности
и удовлетворяют условию
в этой окрестности. Тогда, если
,
то
.
Доказательство. Пусть удовлетворяет условию . (*)
Пусть
,
следовательно:
для любого
существует
такое, что для любого
:
. (3)
Пусть
,
следовательно:
для любого
существует
такое, что для любого
:
. (4)
Пусть . Тогда для любого , удовлетворяющего соотношению , будут одновременно выполняться и неравенство (3) и неравенство (4).
Неравенство
(3) можно представить в виде: 
.
Неравенство
(4) можно представить в виде: 
.
Они выполняются одновременно, причем по условию выполняется неравенство (*). Тогда для любого получаем:
Таким
образом, имеем: для любого
:
выполняется
.