40. Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Пусть в точке
производная функции
отлична от нуля:
.
Тогда
,
где
– б/м величина при
более высокого порядка, чем
.Но
при указанном условии она будет б/м
величиной более высокого порядка и чем
и
.
Действительно, при
имеем:
,
ибо
,
а
.
Значит,
и
отличаются друг от друга на бесконечно
малую величину более высокого порядка,
чем они сами, и, следовательно, они
эквивалентны:
.
Отсюда получаем приближенную формулу вычисления:
,
,
следовательно,
. (3)
Формула (3) называется формулой приближенного вычисления с помощью дифференциала.
Пример 1. Вычислить приближенно
.
Решение. Имеем:
,
,
.
Тогда:
.
Пример 2. Вычислить приближенно
.
Решение. Имеем:
,
,
.
Тогда:
.
,
,
следовательно,
.
50. Дифференциалы высших порядков
Пусть дана дифференцируемая функция
.
Тогда
.
Определение. Дифференциалом
второго порядка функции
называется дифференциал от функции
:
.
Аналогично:
Дифференциалом
-го
порядка называется дифференциал от
дифференциала
-го
порядка как функции
:
.
Найдем выражение второго дифференциала
функции
.
Т.к.
не зависит от
,
то при дифференцировании считаем
постоянным:
.
Аналогично: 
.
Отсюда находим, что 
.