130. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Определение. Критическими точками 1-го порядка функции называют точки, в которых первая производная или не существует.

Теорема. Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Тогда она достигает своего наибольшего и наименьшего значений на этом отрезке либо в критических точках 1-го порядка, либо на концах отрезка.

Пример. Дана функция . Найти ее наименьшее и наибольшее значения на отрезке .

Решение. Найдем критические точки. Для этого найдем производную и приравняем ее к нулю:

;

при и при . Находим: , , , .

Таким образом, при , при .

140. Выпуклость и вогнутость функции

Определение 1. Функция называется выпуклой в точке , если в окрестности этой точки график этой функции лежит по одну сторону от касательной, построенной к графику функции в точке .

Определение 2. Функция называется выпуклой вверх или просто выпуклой, если ее график в окрестности точки лежит ниже касательной, построенной к графику в точке по отношению к оси .

Определение 3. Функция называется выпуклой вниз или вогнутой, если ее график в окрестности точки лежит выше касательной, построенной к графику в точке по отношению к оси .

Теорема 1 (признаки выпуклости (вогнутости) функций).

1) Функция будет являться выпуклой вверх на некотором отрезке , если вторая производная в любой внутренней точке этого отрезка принимает отрицательные значения.

2) Функция будет вогнутой на отрезке , если вторая производная в любой внутренней точке этого отрезка принимает положительные значения.

Определение 4. Точка называется точкой перегиба функции , если она меняет в ней характер выпуклости.

Теорема 2 (необходимое условие существования точки перегиба).

Если – точка перегиба функции , то либо , либо не существует.

150. Формула Тейлора

Пусть функция определена в точке и некоторой ее окрестности и раз дифференцируема в этой точке. Тогда справедливо представление:

, (6)

где , – остаточный член.

Представление (6) называется формулой Тейлора.

Это разложение справедливо для любой точки из окрестности точки . Можно доказать, что

,

где , .

Пример. Разложить функцию по степеням .

Решение. Разложить функцию по степеням означает .

1) ; 4)

2) ; …

3) ;

.

150. Асимптоты графика функций

Виды асимптот

Определение

Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно или .

Замечание. Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке . Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Определение

Прямая называется горизонтальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений или равно .

Замечание. График функции может иметь только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Определение

Прямая называется наклонной асимптотой графика функции , если

Нахождение наклонной асимптоты

Теорема

(условиях существования наклонной асимптоты)

Если для функции существуют пределы и , то функция имеет наклонную асимптоту при .

Замечание

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной при .

Замечание

Если при нахождении горизонтальной асимптоты получается, что , то функция может иметь наклонную асимптоту.

Замечание

Кривая может пересекать свою асимптоту, причем неоднократно.

Пример

Задание. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции:

а) вертикальные асимптоты: прямая - вертикальная асимптота, так как

б) горизонтальные асимптоты: находим предел функции на бесконечности:

то есть, горизонтальных асимптот нет.

в) наклонные асимптоты :

Таким образом, наклонная асимптота: .

Ответ. Вертикальная асимптота - прямая .

Наклонная асимптота - прямая .

16⁰. Исследование функции y=f(x) и построение ее графика.

Схема исследования:

1. Найти область определения функции (ООФ – значения переменной х, при которых функция существует).

2. Исследовать функцию на четность – нечетность:

Если f(-x)=f(x), то функция четная (график симметричен относительно оси Оy).

Если f(-x)=-f(x), то функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

3. Найти вертикальные асимптоты.

!!! Вертикальные асимптоты х=х₀ следует искать в точках разрыва функции y=f(x) или на концах ее области определения (a,b), если a и b - конечные числа.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ (исключая, возможно, саму эту точку) и хотя бы один из пределов функции при хх₀-0 (слева) или хх₀+0 (справа) – равен бесконечности, т.е. lim f(x)= или lim f(x)= . Тогда прямая х=х₀ является вертикальной

хх₀-0 хх₀+0

асимптотой графика функции y=f(x).

4. Найти горизонтальные асимптоты (исследовать поведение функции в бесконечности).

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существует конечный предел функции lim f(x)=b. Тогда прямая y=b есть

Х

горизонтальная асимптота графика функции y=f(x).

Замечание. Если конечен только один из пределов lim f(x)=b_л или

Х

lim f(x)=b_п, то функция имеет левостороннюю y=b _л или правостороннюю

Х

y=b_п горизонтальную асимптоту.

5. Найти наклонную асимптоту.

Пусть функция y=f(x) определена при достаточно больших х и существуют конечные пределы функции lim и lim[f(x)-kx]=b.

Х Х

Тогда прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x).

!!! Наклонная асимптота, так же, как и горизонтальная, может быть правосторонней или левосторонней.

6. Найти экстремумы (максимум, минимум) и интервалы монотонности (возрастание, убывание) функции.

   • найти производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

   • найти корни этого уравнения и точки, в которых производная не существует (критические точки);

   • исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции (найти ординаты точек экстремума!);

   • на промежутке, где - функция возрастает; на промежутке, где - функция убывает.

7. Найти точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции

- найти вторую производную функции (разложить ее на множители) и приравнять ее к 0, т.е. ;

• найти корни этого уравнения;

• исследовать знак второй производной слева и справа от каждой точки и сделать вывод о наличии точек перегиба функции (найти ординаты точек перегиба!);

• на промежутке, где - функция будет вогнутой; на промежутке, где - функция будет являться выпуклой вверх.

8. Найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.

!!! Уравнение оси Ох: y=0.

Уравнение оси Oy: х=0.

9. Используя результаты исследования, построить график функции.