120. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Экстремумы функции

Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если существует такая -окрестность точки , что для всех из этой окрестности выполняется неравенство .

Определение 3. Экстремумом функции называется точка максимума или минимума функции.

Определение 4. Функция называется возрастающей на множестве , если для любых значений и из области определения: , и убывающей, если для любых значений и из области определения: .

Теорема 1 (необходимое условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда:

1) если функция монотонно возрастает на интервале , то на ;

2) если функция монотонно убывает на интервале , то на .

Доказательство. Пусть функция монотонно возрастает на интервале . Тогда для любых значений и из интервала имеем: .

Возьмем произвольную точку , придадим аргументу приращение так, что , функция получит приращение : .

Отсюда получаем:

1) если , то

;

2) если , то

.

Таким образом, на интервале .

Доказательство п. 2) проводится аналогично.

Теорема 2 (достаточное условие монотонности функции на отрезке). Пусть функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале . Тогда, если для любой точки интервала , то функция – возрастающая на интервале и если , то – убывающая на интервале функция.

Доказательство. Т.к. функция непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то выполняются теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Рассмотрим точки . Пусть . Тогда, по теореме Лагранжа, существует точка , причем :

.

1) Если для любого , следовательно, функция возрастает на отрезке .

2) Если для любого , следовательно, функция убывает на отрезке .

Теорема 3. Для того, чтобы функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , была постоянной функцией, необходимо и достаточно, чтобы ее производная на данном интервале была равна нулю.

Доказательство. 1) Необходимость.

Пусть для любого . Тогда для любого .

2) Достаточность.

Пусть для любого выполняется .

Выберем два любых : . Тогда по теореме Лагранжа существует , где :

по предположению, следовательно,

– постоянная функция на .

Теорема 4 (первое достаточное условие существования экстремума). Пусть функция – дифференцируемая функция.

1) Если в точке первая производная меняет свой знак с “+” на “–”, то функция имеет в точке максимум.

2) Если в точке первая производная меняет свой знак с “–” на “+”, то функция имеет в точке минимум.

Д оказательство. Доказательство следует из необходимого и достаточного условия монотонности функции.

Теорема 5 (второе достаточное условие существования экстремума). Пусть функция дважды дифференцируема, причем и – непрерывные функции. Тогда:

1) если и – точка максимума функции ;

2) если и – точка минимума функции .

Доказательство.

1) Пусть и . В силу своей непрерывности функция в некоторой окрестности точки . Тогда по теореме 2 функция убывает в этой окрестности. Поскольку , то функция меняет в точке свой знак с “+” на “–”. Следовательно, по теореме 4 функция имеет в точке максимум.

2) Пусть и . В силу своей непрерывности функция в некоторой окрестности точки . Тогда по теореме 2 функция возрастает в этой окрестности. Поскольку , то функция меняет в точке свой знак с “–” на “+”. Следовательно, по теореме 4 функция имеет в точке минимум.

Теорема 6 (необходимое условие существования экстремума функции в точке). Пусть функция имеет в точке экстремум. Тогда производная либо равна нулю в точке , либо не существует.

Д оказательство. Если в точке функция достигает экстремума, скажем максимума, то значение функции в этой точке является наибольшим ее значением в некоторой окрестности точки . Но по теореме Ферма в тех внутренних точках интервала, в которых дифференцируемая функция достигает своего наибольшего значения, ее производная равна нулю. Аналогично проводится рассуждение и для точки минимума.