5. Интегрирование простейших рациональных дробей

Напомним, что многочленом степени называется выражение вида , где – действительные числа, , , – переменная.. Например, – многочлен первой степени, многочлен четвертой степени и т.д. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов. Например, , – рациональные дроби.

Нас интересуют интегралы от рациональных дробей. В случае, когда степень многочлена знаменателя дроби равна нулю (т.е. в знаменателе стоит число), дробь является многочленом. Интеграл от многочлена находится с использованием метода разложения (см. § 10.2). Далее будем предполагать, что степень знаменателя дроби больше нуля. Примеры таких интегралов встречались нам выше (см., например, табличные интегралы (10.7) при целом отрицательном (10.8), (10.14)). В этом параграфе мы наметим общий подход к интегрированию рациональных дробей.

Прежде всего отметим, что достаточно рассмотреть лишь правильные дроби, т.е. такие, у которых степень числителя меньше степени знаменателя. В самом деле, если это не так, то, используя алгоритм деления многочленов “углом”, известный из школьного курса, мы можем представить исходную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби. Например,

,

и т.д. Тогда интеграл от исходной дроби сведется (с помощью метода разложения, см. § 2) к сумме интегралов от многочлена и правильной дроби.

Если степень знаменателя равна 1, то искомый интеграл имеет вид , и для его нахождения достаточно воспользоваться заменой переменной , (см. пример 4).

Пусть степень знаменателя равна 2, т.е. искомым является интеграл вида

,

(10.22)

Где – действительные числа, . Рассмотрим сначала один важный частный случай: интеграл вида

(10.23)

а затем укажем, как общий случай свести к данному. Если ,

то интеграл (10.23) представляет сумму двух табличных интегралов (с точностью до множителей; см. метод разложения). Пусть . Тогда для нахождения интеграла (10.23) достаточно найти

интегралы

(10.24)

(10.25)

Интеграл (10.24) сводится (вынесением множителя) либо к табличному интегралу (10.13), если , либо к интегралу (10.14), если .

Для нахождения интеграла (10.25) используем замену переменной . Тогда , и

.

Окончательно имеем

,

(10.26)

где .

Возвращаясь теперь к интегралу (10.22), заметим, что его можно привести к виду (10.23), если сначала выделить полный квадрат в знаменателе подынтегральной функции, а затем использовать соответствующую (линейную) замену переменной.

Пример 10. Найти интеграл .

Решение. Так как , то положим .

Тогда ,

.

Для нахождения первого интеграла воспользуемся формулой (10.26) при , . Второй интеграл — табличный (см. (10.14)).

Теперь имеем

.

6. Интегрирование некоторых видов иррациональностей

Рассмотрим случаи, в которых замена переменной позволяет интегралы от иррациональных функций свести к интегралам от рациональных функций, рассматриваемых в §5 (т.е. рационализировать интеграл).

Обозначим через функцию от переменных , и некоторых постоянных, которая построена с использованием лишь четырех арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления).

Например, , и т.д.

Рассмотрим интегралы вида . Такие интегралы

рационализируются заменой переменной .

Пример 11. Найти

Решение. Подынтегральная функция искомого интеграла записана как функция от радикалов степеней 2 и З. Так как наименьшее общее кратное чисел 2 и З равно 6, то данный интеграл

является интегралом типа и может быть рационализирован посредством замены переменной . Тогда , , , . Следовательно,

.

Положим . Тогда и

,

где .

Рассмотрим интегралы вида .

В простейших случаях такие интегралы сводятся к табличным (см. (10.12), (10.15)). (Необходимая замена переменной усматривается после выделения полного квадрата в квадратном трехчлене ).

Пример 12. Найти интеграл .

Решение. Учитывая, что , положим . Эта замена переменной позволяет свести искомый интеграл к табличному (см. (10.15)):

.