3. Метод замены переменной

Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (или метод подстановки), описываемый следующей формулой:

(10.16)

где — функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула (10.16) показывает, что, переходя к новой переменной, достаточно выполнить замену переменной в подынтегральном выражении. Действительно, по определению дифференциала, подынтегральные выражения левой и правой частей равенства (10.16) совпадают.

Удачная замена переменной позволяет упростить исходный интеграл, а в простейших случаях свести его к табличному (табличным).

Пример 4. Найти

Решение. Положим . Тогда ,

и

(см. (10.4) и табличный интеграл (10.8)))

Следует отметить, что новую переменную можно не выписывать явно (в таких случаях говорят о преобразовании функции под знаком дифференциала или о введении постоянных и переменных под знак дифференциала).

.

Рассмотрим примеры нахождения интегралов с помощью нелинейных подстановок.

Пример 5. Найти .

Решение. Положим . Продолжение решения может быть аналогично решению примера 10.4: следует выразить через ,затем найти выражение для . Это позволит реализовать замену переменной в искомом интеграле. Но здесь мы поступим по-другому.

Найдем дифференциал от левой и правой частей формулы : , т.е. . Из полученного равенства удобно выразить , поскольку это выражение является сомножителем подынтегрального выражения искомого интеграла . Тогда

(см. (10.9)).

Пример 6. Найти интегралы:

а) ; б) .

Решение. а) Положим . Тогда , и

б) Используя введение переменной под знак дифференциала,

получаем (неявная замена переменной ). Тогда

.

Приведенные примеры являются простейшими. Однако даже в тех случаях, когда замена переменной не приводит искомый интеграл к табличному, она часто позволяет упростить подынтегральную функцию и тем облегчить вычисление интеграла.

4. Метод интегрирования по частям

Пусть и — дифференцируемые функции. По свойству дифференциала

или

Интегрируя левую и правую части последнего равенства и учитывая (10.5) и (10.2), получаем

.

(10.21)

Формула (10.21) называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла. При ее применении фиксируется разбиение подынтегрального выражения искомого интеграла на два сомножителя ( и ). При переходе к правой части (10.21) первый из них дифференцируется (при нахождении дифференциала: ), второй интегрируется ( (см. (10.2)). Возможности применения (10.21) связаны с тем, что дифференцирование может существенно упростить один из сомножителей (при условии, что интегрирование не слишком усложнит другой).

Пример 7. Найти интеграл:

.

Решение. Так как , а функция при интегрировании практически не изменяется (согласно (10.20) появляется лишь постоянный множитель), то данный интеграл можно найти интегрированием по частям, полагая , . Найдем необходимые для записи правой части (10.2 1) и .

Так как , то . С другой стороны, имеем

(достаточно воспользоваться заменой переменной ). Теперь, применяя формулу интегрирования по частям (10.2 1), получаем

.

Используя метод разложения, убеждаемся, что полученный интеграл — сумма табличного и интеграла, который был определен при нахождении . Таким образом, окончательно

.

Замечание. Анализ полученного решения показывает, что постоянная , возникшая при нахождении (по заданному ), не входит в запись окончательного ответа. Аналогично, в общем случае постоянная , возникающая при нахождении , исключается в процессе решения. Поэтому в дальнейшем, применяя формулу интегрирования по частям и найдя , будем полагать , что несколько упрощает запись решения.

Пример 8. Найти интеграл:

.

Решение. “Препятствием” к нахождению данного интеграла является присутствие сомножителя в записи подынтегральной функции. Устранить его в данном случае можно интегрированием по частям, полагая . Тогда . (Существенно, что при интегрировании фушщии получается функция того же типа (степенная)). Так как и ( , см. замечания в примере 7), то, используя формулу интегрирования по частям; получаем

.

В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять более одного раза.

Пример 9. Найти .

Решение. Выполним сначала замену переменной: положим . Тогда и . Следовательно,

.

Пусть , . Тогда , и, применяя формулу интегрирования по частям, получаем:

.

Полагая в формуле интегрирования по частям , ,получаем . Окончательно имеем

.