Фундаментальное индуктивное определение правильно построенной формулы (ппф)

(1)(Базисный пункт) отдельно стоящая пропозициональная константа есть ППФ;

(2)(базисный пункт) отдельно стоящая пропозициональная переменная есть ППФ;

(3)(индукционный шаг) если t₁,t₂, … t_k – термы, а А^k – k-местная предикатная константа, то A^k(t₁, t₂, …, t_k) – ППФ;

(4) (индукционный шаг) если t₁,t₂, … t_k – термы, а P^k – k-местная предикатная переменная, то P^k(t₁, t₂, …, t_k) – ППФ;

(5) (индукционный шаг) если А и В – ППФ, х - индивидная переменная, А¹ – одноместная предикатная константа, то (А), (АВ), (АВ), (АВ), (АВ), (_хА), (_хА), (_А1_(x)А), (_А1_(x)А) – ППФ;

5. (замыкание) ничто иное не является ППФ.

В данном ФИО символ А^k (k=1, 2, …) используется как индивидная метапеременная по k-местным предикатным константам, символ P^k – как индивидная метапеременная по k-местным предикатным переменным, символы t_i (1 i  n) используются как индивидные метапеременные по правильно построенным термам языка-объекта, символы А, В – как индивидные метапеременные по ППФ языка-объекта; символ х используется как индивидная метапеременная по индивидным переменным языка-объекта, символы коннекторов и кванторов, скобки и запятые использованы автонимно. Таким образом, согласно фундаментальному индуктивному определению ППФ, результат применения n-местного предикатного символа к n термам записывается в виде линейной последовательности символов, причем предикатный символ ставится на первом месте, а правильно построенные термы указываются вслед за ним в скобках в том порядке, в котором они входят в ППФ, и отделяются друг от друга запятыми. Поскольку в подавляющем большинстве языков логики используются лишь одноместные и двухместные коннекторные символы, результат применения коннекторного символа к ППФ записывается отлично от общего правила. Отличие заключается в том, что:

(1) верхний индекс символа коннектора опускается;

(2) результат применения одноместного коннекторного символа к ППФ содержит символ коннектора перед ППФ, и в скобки берется весь результат применения коннекторного символа к ППФ;

(3) результат применения двухместного (бинарного) коннекторного символа к двум ППФ записывается в виде линейной последовательности символов, причем символ коннектора ставится между ППФ, и весь результат берется в скобки.

В бесскобочной символике Лукасевича (польская система записи) скобки и запятые опускаются.

Пример 2.3.2. Правильно построенными формулами являются выражения:

(1) А; B; C; A₁; p; q; r; p₁;.

(2) A¹(x); A²(a, x); B²(x, y); C²(x, x); A³(f¹(x), g²(x, y), a);

3. (_А1_(x)(В¹(x)));(_А1_(x)(В¹(x)));( (А В)); (А(В С¹(x)));

4. (АВ);(АВ);(x(В¹(x)));x(АВ)); у(AВ¹(x));

5. (p); ( A); ( A¹(x));(p q); (A B); (p A);

6. (A¹(x) B); (B¹(y) C¹(z)); (B¹(x) A);((p q));

7. ((p q)r); ((A B)C); ((A¹(x) B²(x, y)) C);

и т.д.

В символике Лукасевича ППФ выражения строки (2) имеют вид:

A¹x; A²ax; B²xy; C²xx; A³f¹xg²xya;

а выражения строк (5), (6), (7) имеют вид:

Np; NA; NA¹x;Kpq; AAB; CpA;

KA¹xB; AB¹y C¹z; CB¹x A; NKpq;

CKpqr; KAABC; CCA¹x B²xy C.

Правильно построенные формулы представляют в ЯЛФРТ категорию предложений; предикатор может рассматриваться как неполное предложение с именными переменными, то есть с пустыми местами, на которые подставляются имена, а коннектор – как неполное предложение с пропозициональными переменными, то есть с пустыми местами, замещаемыми предложениями. Пропозициональная переменная может рассматриваться как тривиальный одноместный коннектор, переводящий каждое предложение само в себя.

Таким образом, каждая ППФ ЯЛФРТ представляет или предложение, или предикатор, или коннектор.

Поскольку при переводе выражений естественного языка на символический ЯЛФРТ приходится иметь дело с ППФ, содержащими большое число скобок, что затрудняет анализ строения таких ППФ, на практике часто используют сокращенную запись ППФ ЯЛФРТ. В сокращенной записи часть скобок опускается в соответствии с некоторым соглашением о скобках. Чаще всего используется следующее соглашение о скобках:

(1)в ППФ внешние скобки опускаются;

(2) в последовательности знаков ( ), ,  (  ), ,  каждый последующий знак связывает слабее предыдущего; знаки ( ) рассматриваются как равносильные.

Например, ППФ ((( А) В) (С p)) может быть записана  А В С p.

Сокращенные записи ППФ ЯЛФРТ не являются ППФ; они могут рассматриваться как выражения метаязыка, обозначающие ППФ языка-объекта.

Различают два вида ППФ: атомарные и составные ППФ. Атомарными называют ППФ, состоящие из одного символа (например, p, A); составные ППФ содержат более одного символа (например, A¹(x), P²(x,y)A, _A1_(x)B²(x,y),  _x(A¹(x) B²(x,y)); скобки опущены в соответствии с соглашением о скобках). Составные ППФ разбиваются на два класса: элементарные и неэлементарные. Элементарные составные ППФ содержат в своем составе только один предикатный символ или символ коннектора (например, A¹(x), A p). Элементарная предикатная постоянная формула содержит только одну предикатную k-местную константу, то есть имеет вид A^k(t₁,…,t_k), k=1,2,…; например, A²(f³(x,y,z),g¹(x)). Элементарный постоянный предикатор – это элементарная предикатная постоянная формула, содержащая одну предикатную n-местную константу и n различных индивидных переменных (n=1,2, ...) и не содержащая операторных символов, то есть имеет вид Aⁿ(x₁,…,x_n); например B²(x,y). Элементарная предикатная переменная формула содержит только одну предикатную n-местную переменную, то есть имеет вид Pⁿ(t₁,…,t_n), например, P³(f²(x,y),z,g²(x,b)). Элементарный переменный предикатор – это элементарная предикатная переменная формула, содержащая одну предикатную n-местную переменную и n различных индивидных переменных (n=1, 2, ...) и не содержащая операторных символов, то есть имеет вид Pⁿ(x₁,…,x_n), например, Q³(y,x,z). Неэлементарные формулы содержат в своем составе более одного предикатного и/или коннекторного символа, например  A¹(x), A²(x,y) B. Элементарная коннекторная формула содержит только один символ коннектора, например, A¹(x) p,  B²(x,y). Элементарный коннектор ЯЛФРТ – это элементарная коннекторная формула, содержащая, кроме символа коннектора, только пропозициональные переменные; например,  p, p q, p q, p q, p q, p q. Неэлементарная коннекторная формула содержит в своем составе более одного коннекторного символа, например  А В С p. Неэлементарный коннектор – это неэлементарная коннекторная формула, содержащая, кроме коннекторных символов, только пропозициональные переменные; например, p q q r.

В конкретных языках логики ППТ и ППФ могут содержать символы, не указанные в таблице 2.2; но принцип построения ППТ и ППФ остается таким, как он указан нами выше.

Язык логики, содержащий в своем составе только ППТ и ППФ в соответствии с указанными выше правилами, называют неинтерпретированным формальным языком логики или неинтерпретированной формальной (синтаксической) системой или логистической системой (исчислением).