Фундаментальное индуктивное определение правильно построенного терма (ппт)

(1)(Базисный пункт) отдельно стоящая именная (предметная, индивидная) константа есть ППТ;

(2)(базисный пункт) отдельно стоящая именная (предметная, индивидная) переменная есть ППТ;

(3)(индукционный шаг) если ⁿ – n-местная операторная (функциональная) константа, а t₁, t₂, … t_n – ППТ, то ⁿ(t₁, t₂, …, t_n) – ППТ;

(4) (индукционный шаг) если fⁿ – n-местная операторная (функциональная) переменная, а t₁, t₂, … t_n – ППТ, то fⁿ(t₁, t₂, …, t_n) – ППТ;

5. (замыкание) ничто иное не является ППТ.

В данном ФИО символ ⁿ используется как индивидная метапеременная по n-местным операторным константам, символ f ⁿ – как индивидная метапеременная по n-местным операторным переменным, символы t_i (1 i  n) используются как индивидные метапеременные по правильно построенным термам языка-объекта; скобки и запятые использованы автонимно. Говорят, что выражения вида ⁿ(t₁, t₂, …, t_n) или fⁿ(t₁, t₂, …, t_n) являются результатом применения n-местного функционального символа (ⁿ или f ⁿ) к n термам. Таким образом, согласно фундаментальному индуктивному определению ППТ, результат применения n-местного операторного символа к n термам записывается в виде линейной последовательности символов, причем операторный (функциональный) символ ставится на первом месте, а n термов ставятся за ним в круглых скобках в том порядке, в котором они входят в ППТ, и отделяются друг от друга запятыми.

В бесскобочной польской системе записи (символика Лукасевича^*) скобки и запятые опускаются.

Пример 2.3.1. Правильно построенными термами ЯЛФРТ являются выражения: a; b; c₁; x; x₁; y;

+² (x, y); +²(a, y); —²(a, a); +²(a, —²(b, a));

+² (—²(a, x), ²(b, a)); f³(+²(x, y), a, b); f²(g¹(x,+²(x,y))

и т.д., где +², —^2­­­, ² – операторы сложения, вычитания и деления соответственно.

В бесскобочной символике Лукасевича составные термы из вышеуказанных запишутся следующим образом:

+²xy; +²ay; —²aa; +²a—²ba; +²—²ax²ba; f³+²xyab; f²g¹x+²xy и т.д.

Правильно построенные термы представляют в ЯЛФРТ категорию имен; так как замыканием оператора является имя, то оператор может рассматриваться как неполное имя (имя с пустыми местами). Индивидная переменная (то есть пустое место, на которое подставляются имена), может рассматриваться как тривиальный одноместный оператор, переводящий каждое имя само в себя. Таким образом, каждый ППТ ЯЛФРТ представляет собой или имя, или оператор. Так, например, ППТ +²(x,у) есть результат применения двухместного функционального символа +² к предметным переменным x и у; он представляет в ЯЛФРТ функтор сложения «х+у» из языка математики.

По строению все ППТ разбиваются на два класса: атомарные и составные ППТ. Атомарными называют ППТ, состоящие из одного символа; составные ППТ содержат более одного символа. Составные ППТ, в свою очередь, разбиваются на два класса: элементарные и неэлементарные. Элементарные составные ППТ содержат в своем составе только один функциональный (операторный) символ. Элементарный операторный постоянный терм содержит только одну функциональную (операторную) n-местную константу. Элементарный постоянный оператор – это элементарный операторный постоянный терм, содержащий одну функциональную (операторную) n-местную константу и n различных индивидных переменных (n=1, 2, ...). Элементарный операторный переменный терм содержит только одну функциональную (операторную) n-местную переменную. Элементарный переменный оператор – это элементарный операторный переменный терм, содержащий одну n-местную функциональную (операторную) переменную и n различных индивидных переменных (n=1,2, ...). Неэлементарные составные термы содержат в своем составе более одного функционального (операторного) символа.

Составные ППТ, не содержащие ни функциональных (операторных), ни индивидных переменных, представляют в ЯЛФРТ имена дескриптивные (дескрипции). ППТ, содержащие функциональные константы и предметные (индивидные) переменные, представляют в ЯЛФРТ операторы. ППТ, содержащие функциональные переменные и не содержащие индивидных переменных, представляют в ЯЛФРТ сложные функторы, переводящие операторы в имена. ППТ, содержащие и функциональные и индивидные переменные, представляют в ЯЛФРТ: (а) функторы, переводящие имена в функторы, переводящие операторы в имена; (б) функторы, переводящие операторы в имена; (в) пустые места, на которые подставляются операторы.