4) Основные теоремы теории вероятностей

Свойства несовместных событий

Пусть дана система несовместных событий А₁, А₂, …, А_n (т.е. любые два события несовместны). Справедливы следующие утверждения:

Теорема 1. Если система событий А₁, А₂, …, А_n является несовместной, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей:

(5)

Теорема 2. Если система событий А₁, А₂, …, А_n является полной (т.е. сумма всех этих событий есть событие достоверное) и несовместной, то сумма вероятностей этих событий равна 1:

(6)

Противоположные события

Два события называются противоположными по отношению к данному испытанию, если они образуют полную и несовместную систему. Обозначение: А и - противоположные события.

Согласно определению: и . Тогда из теоремы 2 следует, что

. (7)

Вероятность суммы событий

Если события несовместны по отношению к данному испытанию, то вероятность их суммы вычисляется по формуле (5): P(A+B)=P(A)+P(B).

В общем случае, для любых двух событий А и В справедливо равенство:

P(A+B)=P(A)+P(B) - P(AB) (8)

Условная вероятность

Условной вероятностью события А при гипотезе В называется вероятность события А при таком условном испытании, по отношению к которому событие В является достоверным. Обозначение: P(A/B).

По отношению к классическому определению вероятности для любых событий А и В справедлива формула:

(9)

Вероятность произведения событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при гипотезе первого:

(10)

Событие А называется независимым от события В, если . В противном случае событие А называется зависимым от события В. Нетрудно показать, что если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Такие события называются независимыми. Аналогично, если событие А зависит от события В, то и событие В зависит от события А. В этом случае события называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

(11)

Задание 5. Для сигнализации о пожаре установлены два независимо работающих датчика. Вероятности того, что при пожаре датчик сработает, для 1-го и 2-го датчиков соответственно равны 0,8 и 0,9.

а) Найти вероятности следующих событий:

1. А - сработают оба датчика;

2. В - сработает только первый датчик;

3. С - сработает только один датчик;

4. D - сработает хотя бы один датчик.

б) Известно, что сработал только один датчик. Найти вероятность того, что это был первый.

Решение. а) Введем события: А₁ – 1-ый датчик сработает; А₂ – 2-ой датчик сработает. Тогда и - противоположные события (датчики не сработают). По условию P(А₁)=0,8; P(А₂)=0,9. Вероятности противоположных событий найдем по формуле (7): ; .

1) Событие А заключается в том, что сработали оба датчика, т.е. . События А₁ и А₂ по условию задачи независимы, поэтому по формуле (11) имеем: .

2) Событие В заключается в том, что сработает только первый датчик, т.е. . Тогда .

3) Событие С заключается в том, что сработает только один датчик – либо только 1-ый, либо только 2-ой. В этом случае событие С представляет собой сумму двух несовместных событий: . С учетом формул (5) и (11) имеем: .

4) Событие D заключается в том, что сработает хотя бы один датчик, т.е. . События А₁ и А₂ совместны, поэтому для вычисления вероятности события D необходимо воспользоваться формулой (8):

.

Отметим, что вероятность события D можно найти и другим способом. Рассмотрим противоположное событие - ни один датчик не сработал. Очевидно, что и . Тогда по формуле (7) имеем: .

б) Для решения данной задачи необходимо найти вероятность . По формуле (9) имеем: . Произведение означает, что одновременно произошли два события - А₁ (1-ый датчик сработал) и С (сработал только один датчик). Следовательно, , и .