МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

НОВГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ЯРОСЛАВА МУДРОГО

Высшая математика

Контрольные задания и методические указания

для студентов заочного отделения

инженерно-технических специальностей

(часть 4)

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД

2010

Р е ц е н з е н т

д. физ.-мат.наук, доцент кафедры прикладной математики

В.А. Едемский

Высшая математика: Контрольные задания и метод. указания для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей (часть4) / Сост. С.О. Карданов, Е.Ю. Карданова; НовГУ им. Ярослава Мудрого. – Великий Новгород, 2010. – 46с.

Пособие является руководством по выполнению контрольных работ по курсу высшей математики для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Оно содержит вопросы и теоретические сведения, необходимые для выполнения контрольных работ по данной теме, примеры решения задач, контрольные задания и список литературы.

Введение

При изучении курса высшей математики студент-заочник должен выполнить ряд контрольных работ. Решения задач и пояснения к ним должны быть достаточно подробными. Все решения надо приводить полностью, чертежи и графики должны быть выполнены четко, с указанием масштаба и названий координатных осей. Обозначения к задачам должны соответствовать указаниям на чертежах и графиках. К выполнению контрольного задания следует приступать после изучения теоретического материала по учебникам и решения достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Данное пособие предназначено для студентов-заочников 2-го курса весеннего семестра.

Глава I. Уравнения математической физики. Операционное исчисление. Теория функций комплексной переменной

Теоретические вопросы

1. Классификация уравнений с частными производными второго порядка.

2. Задача Коши для уравнения колебания струны.

3. Метод Даламбера решения задачи Коши для уравнения колебания струны.

4. Определение преобразования Лапласа и его свойства.

5. Малая таблица преобразований Лапласа.

6. Преобразование Лапласа производной от функций.

7. Обратное преобразование Лапласа и его свойства.

8. Малая таблица обратных преобразований Лапласа.

9. Обратное преобразование Лапласа дробно-рациональных функций.

10. Операционный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем.

11. Предел и непрерывность функции комплексной переменной.

12. Дифференцирование функции комплексной переменной.

13. Интегрирование функции комплексной переменной.

Литература

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. М.: Наука, 1989. Т.1,2.

2. Пчелин Б.К. Специальные разделы высшей математики. М.: Высш.шк.,1973.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. М.: Высш. шк.,1998. Ч.1,2.

1. Уравнения математической физики

Многие задачи механики, физики, химии приводят к исследованию дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, называемых уравнениями математической физики. Например, колебание струны описывается уравнением:

. (1)

Но для определения движения струны, кроме уравнения (1), необходимо задать начальные условия, описывающие поведение струны в начальный момент времени t=0:

, (2)

, (3)

где - заданные функции.

Задача отыскания решения u(x,t) уравнения (1) в области , удовлетворяющего начальным условиям (2)-(3), называется задачей Коши для уравнения колебания струны.

Решение задачи Коши для уравнения (1) задается формулой Даламбера:

. (4)

Задание. Найти решение u(x,t) задачи Коши:

Решение. По формуле Даламбера (4) имеем:

2. Операционное исчисление