2.2. Метод сечений. Виды деформаций
При деформировании упругих тел под действием внешней нагрузки возникают силы противодействия деформированию - внутренние силы. Пока не произойдет разрушение тела, внешние силы уравновешиваются внутренними. Природа внутренних сил – атомарное и молекулярное взаимодействие частиц тела. Внутренние силы или внутренние силовые факторы (ВСФ) определяются методом сечений.
Сущность метода сечений: упругое твердое тело, несущее внешнюю нагрузку, уравновешиваемую телом, мысленно рассекается плоскостью. Если тело – брус и секущая плоскость проводится перпендикулярно его оси, получают поперечное сечение.
Затем
рассматривается условие равновесия
каждой отсеченной части, то есть
определяются сила и момент, которые,
будучи приложенными в центре тяжести
сечения, уравновесят внешнюю нагрузку,
действующую на
рассматриваемую
отсеченную часть. Эта сила и момент,
приложенные в центре тяжести сечения,
являются соответственно главным
вектором
и
главным
моментом внутренних сил -
(рис.
2.2-б).
На рис.2.2 (а, б, в) показана последовательность определения ВСФ по методу сечений.
Через центр тяжести сечения проводят три взаимно перпендикулярные оси. При этом ось х перпендикулярна сечению, а оси y и z проходят по поверхности сечения, совпадая с его главными осями. Определяют составляющие главных вектора и момента относительно осей x, y, z. (рис.2.2-в)
Nx - сила, перпендикулярная сечению, Qy и Qz – силы, действующие по поверхности сечения, Mx, My, Mz – моменты относительно соответствующих осей (рис. 2.2-в). Таким образом, в общем случае в сечении тела действуют шесть внутренних силовых факторов, величины и направление которых можно определить с помощью шести уравнений статики для пространственной системы сил:
(определяется)
Nx
;
mx
= 0
(определяется)
Mx
;
(определяется)
Qy
;
my
= 0
(определяется)
My
;
(определяется)
Qz
;
mz
=
0
(определяется)
Mz
;
Nx2
+ Qx2
+ Qz2
=
Мx2
+ Мy2
+ Мz2
а)
|
б)
|
в)
|
H – секущая плоскость; С – центр тяжести сечения; Силы Fί действуют на одну сторону сечения ί = 1,2,... ,n → R - главный вектор внутренних сил; → n → R = ∑ Fί ί=1 → M- главный момент внутренних сил. → → → M = ∑ Mί (Fί)
Nx, Qy, Qz, Mx, My, Mz – внутренние силовые факторы. |
Рис.2.2
Напряжение – мера интенсивности внутренних сил, распределенных в сечении деформируемого тела по определенному закону.
Оптимальная величина напряжений – основной критерий прочности материала.
Единица измерения напряжения – мегапаскаль (МПа)
1 МПа = 1 Н/мм2
Под действием различных силовых факторов тела могут испытывать различные типы деформаций.
Таблица 2.2.
Типы деформации |
Схема сил и напряжений |
Напряжения, выраженные через внутренние силовые факторы |
Осевое растяжение-сжатие:
Направление
силы F
совпадает с осью бруса (стержня). В
сечении бруса действует обобщенная
внутренняя осевая сила Nx= ε =∆ℓ/ℓ - относительное удлинение стержня, А- площадь сечения (мм) ∆ℓ=F· ℓ0 / E ·А
|
|
Nx
= = Nx / A0 = F / A0
Nx
=
Nx
=
>0 – при растяжении <0 – при сжатии
р
=
нормальные и касательные напряжения наклоном сечении 1-1 = р cos ; = p sin = cos2 = 1/2sin2 max = (в сечении 0-0) max = / 2 (при = 450) |
|
|
Q = F = dA Q = A = const = Q/A |
Кручение:
в поперечном сечении вала действует
крутящий момент m
= Мx
=
Мк
распределенный по поверхности сечений
в виде касательных напряжений
Мк - положительный, т.е. Мк>0, если направление его действия – против часовой стрелки, а наоборот Мк<0
|
|
Mk = ApdAp; p = Mkp/Jp J = A2 dA; J = D4 / 32 – полярный момент инерции (мм4); W = J / max = D3 / 16 – полярный момент сопротивления (мм3) max = Mk max / Jmax = Mk / W max = Mk / W |
Изгиб (чистый): изгибающий момент Мu, действующий в плоскости симметрии, распределяется по поверхности сечения в виде нормальных напряжений по линейному закону. max – в крайних точках сечения по оси Y, = 0 – в центре сечения. |
|
Mu = dA y = Mu y / Jz max = Mu y max / Jz Jx = Ay2dA – осевой момент инерции max = Mu / Wz Wz = Jz / ymax – осевой момент сопротивления Jz = bh3 /12; Wz = bh2 / 6(1) Jy = hb3 /12; Wz = hb2 / 6(2) Jz(y) = D4/64;Wz(y) = D3/3 (для круга) |
Fi.
Внутренняя сила Nx
распределяется равномерно в поперечном
сечении 0-0 в виде нормальных напряжений
.
В наклонном сечении – в виде нормальных
и касательных напряжений
.
Закон
Гука при растяжении-сжатии: ∆ℓ−ℓ1−ℓ0
абсолютное удлинение стержня (мм)
const
A0
;
=
Сдвиг
(срез):
в поперечном сечении бруса действует
сила Q,
распределенная равномерно по поверхности
сечения в виде касательных напряжений
по
линейному закону. По краям сечения
max,
в центре
.
