2.2. Сценарий

Сценарием в Microsoft Excel называется набор значений подстановки, используемый для прогнозирования поведения какой-либо модели. Существует возможность создания и сохранения на листе различных сценариев и переключения на любой из этих сценариев для просмотра результатов. Taк, если требуется сформировать бюджет, но годовой доход точно не известен, то для дохода определяются различные значения, а затем для каждого сценария выполняется анализ «что-если» [2].

Задача 3. Вас просят дать в долг 10000р. и обещает возвращать по 2т.р. в течение 6 лет. Будет ли выгодна эта сделка при годовой процентной ставке 7%.

Решение:

Введем исходные данные в соответствии с рис. 2.7. В ячейку В6 запишем формулу =ПС(B5;B3;-B4).

Рис. 2.7. Исходные данные.

Для наглядности полученного решения в ячейку В7 введем следующее выражение:

=ЕСЛИ(B2<B6;"Выгодно дать в долг";ЕСЛИ(B2=B6;

"Варианты равнозначны";"Выгодно положить под проценты")).

Часто бывает удобно проанализировать ситуацию для нескольких возможных вариантов параметров. Для этого служит команда Сервис→Сценарии…

Рассмотрим применение этой команды для 3-х комбинаций срока и суммы ежегодно возвращаемых денег:

• 6 лет и 2200р.;

• 10 лет и 1500р.;

• 8 лет и 1600р.

Выполним команду Сервис→Сценарии... На экране появится диалоговое окно Диспетчера сценариев, в котором нужно нажать кнопку Добавить. После этого откроется следующее диалоговое окно Добавление сценария, в котором нужно ввести имя сценария, например Сц1, и адреса изменяемых ячеек, в данном случае это В3:В4 (рис 2.8).

После нажатия кнопки OK на следующем шаге появится диалоговое окно Значения ячеек сценария, показанное на рис. 2.9. В соответствующих полях ввода необходимо ввести значения изменяемых ячеек и нажать кнопку Добавить. После этого последовательно появятся диалоговые окна Добавление сценария (рис. 2.8) и Значения ячеек сценария (рис. 2.9), в которых надо указать соответствующие данные для второго сценария Сц2: срок 10 лет и ежегодная сумма 1500 р. Нажав кнопку Добавить необходимо все шаги аналогично провести для третьего сценария Сц3 с исходными данными 8 лет и 1600 р. и нажать кнопку OK (рис. 2.10).

Рис. 2.8. Диалоговое окно Добавление сценария.

Рис. 2.9. Диалоговое окно Значение ячеек сценария.

После этого в окне Диспетчера сценариев, нажать кнопку Отчет. На экране появится диалоговое окно Отчет по сценарию, в котором надо указать тип отчета, например Структура и ввести адреса ячеек результата, в данном случае В6:В7. Нажав кнопку ОК, появится лист Структура сценария с отчетом и результатами решения данной задачи, показанный на рис. 2.11.

Как видно из листа, в третьем случае выгодно положить деньги под проценты, а в первом и во втором случаях – дать в долг. Если после внесения изменений в сценарий он будет сохранен с первоначальным именем, то новые значения изменяемых ячеек заменят значения в исходном сценарии.

Рис. 2.10. Диалоговое окно Диспетчер сценариев.

Рис. 2.11. Результат решения задачи.

2.3. Задания

1. Вас просят дать в долг Р р. и обещают вернуть Р₁ р., через год, Р₂ р. через 2 года и Р_п р. через N лет. При какой годовой процентной ставке эта сделка имеет смысл?

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
N, лет	4	3	3	2	4	4	3	2	4	4
Р, руб.	17000	20000	18500	5000	12000	2500	3600	5600	4500	52500
Р1, руб.	5500	8500	6500	2000	1500	500	850	3400	1300	19000
Р2, руб.	8000	6000	6500	3500	2500	800	950	2400	1100	20500
Р3, руб.	2500	7000	7500		4000	1000	2000		1500	5500
Р4, руб.	3000				6000	400			1200	10000

2. По какой цене необходимо продавать единицу товара, чтобы получить прибыль в Р руб.? Если количество произведенного товара равна А единиц, себестоимость одной единицы товара равна К руб., а накладные расходы равны В руб.

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А, ед.	1200	2100	3000	1500	3600	5400	2600	4200	3400	1900
В, руб.	15000	18000	32000	22000	14000	35000	21000	40000	36000	9000
К, руб.	62	75	39	89	67	91	120	85	180	150
Р, руб.	10000	15000	18000	30000	16000	80000	50000	32000	16000	9900

3. Вас просят дать в долг А руб. и обещает возвращать по Р руб. в течение N лет. Будет ли выгодна эта сделка при годовой процентной ставке I %.

Проанализируйте ситуацию для 3-х возможных комбинаций срока, суммы ежегодно возвращаемых денег и годовой процентной ставки:

• N₁ лет, P₁ руб. и I₁ %;

• N₂ лет, P₂ руб. и I₃ %;

• N₃ лет, P₃ руб. и I₄ %.

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
А, руб.	5500	4900	8900	9500	7600	6800	5300	7400	8500	9700
Р, руб.	1300	1400	2300	3300	1700	1900	1400	1800	1500	2400
N, лет	5	4	4	3	6	4	4	5	6	5
I, %	6	6	1	2	9	5	2	7	2	8
Р1, руб.	1250	1300	2400	3500	1600	1900	1300	1750	4500	2200
N1, лет	7	5	5	3	9	5	5	7	2	8
I1, %	7	6	3	4	6	4	3	5	6	5
Р2, руб.	1350	1250	2350	3400	1800	2000	1400	1900	2500	2500
N2, лет	5	7	5	5	5	4	5	4	4	5
I2, %	6	5	2	6	6	8	5	3	5	6
Р3, руб.	1400	1500	2500	4000	1700	1700	1500	2000	1600	2300
N3, лет	6	4	4	3	9	7	4	5	10	9
I3, %	7	7	3	8	6	3	6	9	3	9

2.4. Контрольные вопросы

1. Поясните алгоритм средства Подбор параметра?

2. В чем назначение средства Сценарии?

3. Какие числовые форматы вы знаете?

4. Чем отличаются денежный и финансовый форматы?

5. Что такое маркер копирования?

6. Перечислите назначение кнопок панели инструментов Excel.

Лабораторная работа № 3

Задачи линейного программирования

Цель работы: – освоить решение оптимизационных задач линейного программирования с помощью MS Excel;

– получить навыки использования задач распределения ресурсов в хозяйственной деятельности современных предприятий и организаций.

3.1. Основные сведения

Задачи линейного программирования (ЗЛП) представляют собой оптимизационные задачи, описываемые линейными математическими моделями. Различные аспекты оптимизации занимают очень важное место в бизнесе и деятельности современных организаций и предприятий [3, 5]. Проблемы оптимизации присутствуют в самых различных процессах, которые можно грубо разделить на следующие категории:

• оптимизация перевозок грузов;

• оптимизация распределения ресурсов (в самом широком смысле – от распределения производственных мощностей для выпуска нескольких (многих) видов товаров с различной прибыльностью до оптимизации состава стада крупного рогатого скота для наиболее прибыльного производства молока и мяса);

• оптимизация расхода/раскроя материалов и т.д.

В общем виде постановка оптимизационной задачи математического программирования состоит в определении таких значений переменных х₁, х₂, …, х_п, при которых целевая функция достигает наибольшего или наименьшего значения

f(x₁, x₂, …, x_n) → max (или min),

а сами переменные удовлетворяют одновременно системе ограничений

g_i(x₁, x₂, …, x_n) ≤ (≥) b_i, i=1, 2, …, m,

где f и g_i – заданные функции, b_i – заданные числа.

Если все функции f и g_i линейны, то соответствующая задача математического программирования является ЗЛП. Линейность предполагает наличие двух свойств: пропорциональности и аддитивности. Пропорциональность означает, что вклад каждой переменной в целевую функцию и ограничения прямо пропорционален величине этой переменной. Аддитивность заключается в том, что и целевая функция, и ограничения для каждого значения индекса i представляют собой сумму вкладов от различных переменных.

Математическая модель ЗЛП в общем случае формулируется следующим образом [5, 6].

Найти значения неотрицательных переменных x₁, x₂, …, x_n, доставляющих максимум (или минимум) линейной целевой функции

F = c₁x₁ + c₂x₂ + … +c_nx_n → max (или min),

удовлетворяющих одновременно всем ограничениям-неравенства/равенствам:

Содержательный смысл рассматриваемых в линейном программировании задач требует также выполнения условий неотрицательности переменных x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0, …, x_n ≥ 0.

Рассмотрим решение ЗЛП на примере задачи распределения ресурсов.

Организация производит три вида продукции (П1, П2, П3), на их производство затрачиваются три ресурса (Р1, Р2, Р3, например, время работы оборудования, денежные средства и сырьё). На изготовление одной единицы продукции П1 затрачивается 1 усл.ед. Р1, 7 усл.ед. Р2 и 4 усл.ед. Р3. На изготовление П2 затрачиваются соответственно: 1 усл.ед. Р1, 2 усл.ед. Р2, 8 усл.ед. Р3, а на П3 соответственно затрачиваются: 1 усл.ед. Р1, 4 усл.ед. Р2 и 10 усл.ед. Р3.

Организация имеет на своем складе запас ресурсов в количестве 20 усл.ед. Р1, 100 усл.ед. Р2 и 200 усл.ед. Р3. Руководству организации необходимо определить план выпуска продукции, при котором прибыль от её реализации будет максимальной. Если реализация одной единицы продукции вида П1 приносит 80 ден.ед. прибыли, продукции вида П2 – 100 ден.ед. прибыли, а П3- 50 ден.ед. прибыли.

Математическая модель

Переменные. Так как необходимо определить объёмы производства каждого вида продукции, переменными в модели являются: x₁ – количество произведенной продукции вида П1, x₂ – количество произведенной продукции вида П2 и x₃ - количество произведенной продукции вида П3.

Целевая функция. Руководство организации желает получить максимальную прибыль от реализации произведенных организацией продукции. Поэтому целевая функция должна представлять собой суммарную прибыль от реализации произведенной продукции. Так как прибыль от реализации одного вида продукции П1 равна 80 ден.ед., то прибыль от его реализации составить 80* x₁ ден.ед. Аналогично, прибыль от реализации x₂ продукции вида П2 составить 100* x₂ ден.ед., и для продукции вида П3 – 50* x₃ ден.ед.

Целевая функция, выражающая суммарную прибыль от реализации выпускаемой фирмой продукции, будет равна:

Ограничения. Ограничения в математической модели отражают ограниченность ресурсов, используемых при производстве продукции.

Запишем ограничение на расход ресурса Р1. Поскольку на производство одной единицы продукции вида П1 затрачивается 1 усл.ед. Р1, то на производство продукции П1 в объеме х₁ будет затрачено в объеме 1*х₁. Аналогично на производство продукции П2 в объеме х₂ будет затрачено 1*х₂ Р1, для производства П3 в объеме х₃ – 1*х₃ Р1.Тогда суммарный расход Р1 составит х₁ + х₂ + х₃ и он не может превосходить имеющего на складе объема (20 усл.ед.). Таким образом получаем первое ограничение на расход ресурса Р1:

Ограничение на использование ресурса Р2 можно записать следующим образом. На изготовление одной единицы продукции П1 затрачивается 7 усл.ед. ресурса Р2, а на изготовление в объеме х₁ – 7*х₁, аналогично для П2 в объеме х₂ – 2*х₂, для П3 в объеме х₃ – 4*х₃ ресурса Р2. Суммарный расход ресурса Р2 для производства трех видов продукции составит 7*х₁ + 2*х₂ + 4*х₃ и не может превышать запасов ресурса Р2 (100 усл.ед.). Тогда ограничение на ресурс Р2 можно записать в виде:

Точно также составляется ограничение на ресурс Р3, которые ограничены 200 усл.ед. На изготовление одной единицы продукции П1 требуется 4 усл.ед. Р3, а в объеме х₁ – 4*х₁ Р3.Анологично для П2 расход ресурса Р3 в объеме х₂ составит 8*х₂, а для П3 – 10*х₃. Суммарные затраты ресурса Р3 составит 4*х₁ + 8*х₂ + 10*х₃, получаем третье ограничение:

По смыслу задачи объемы выпускаемой продукции не могут быть отрицательными, поэтому к приведенным выше ограничениям необходимо добавить еще три:

Таким образом, получаем следующую математическую модель задачи:

Математическая модель линейна поскольку переменные х₁, х₂ и х₃ входят в нее в первой степени.

Решение задачи средствами Excel.

В Excel имеется стандартный механизм разрешения подобных задач заключенный в надстройке Поиск решения. Для его использования необходимо активировать данную надстройку: Сервис→Надстройки... Далее в открывшемся диалоговом окне Надстройки активируем элемент списка Поиск решения, после этого опция Поиск решения станет доступна в меню Сервис.

Теперь необходимо ввести исходные данные на лист Excel для решения задачи. Форма должна выглядеть, как показано на рис. 3.1.

Коэффициенты целевой функции, представленные в ячейках диапазона B4:D4, a объемы производства, которые будут после решения задачи представлены в ячейках B3:D3, то формула расчета целевой функции должна рассчитывать сумму произведений ячеек B3:D3 на B4:D.

Для расчета суммы произведений диапазонов ячеек в Excel предусмотрена математическая функция СУММПРОИЗВ.

Для расчета целевой функции необходимо в ячейку F4 ввести формулу:

=СУММПРОИЗВ(B3:D3;B4:D4).

Теперь необходимо ввести ограничения на использование ресурсов – систему неравенств-ограничений, согласно математической модели (3.1).

Каждое неравенство выражает ограничение объемов производства различных видов продукции имеющимся количеством данного ресурса. Столбец Расход ресурсов представляет собой сумму произведений количества ресурса, требуемого на производство единицы продукции на объем производства данного вида продукции. Столбец Запасы ресурсов отражает количество ресурса, которое имеется на складе.

Так как объемы производства представлены в диапазоне ячеек B3:D3, а количество ресурса, необходимое для производства единицы продукции, представлено в диапазонах B8:D8 для Ресурса 1, в диапазонах B9:D9 для Ресурса 2, в диапазонах B10:D10 для Ресурса 3, то в ячейках Е8:Е10 соответственно должны быть формулы:

=СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B8:D8),

=СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B9:D9),

=СУММПРОИЗВ($B$3:$D$3;B10:D10),

т.е. суммы произведений соответствующих ячеек.

Рис. 3.1. Исходные данные.

Выполним команду Сервис→Поиск решения... Откроется диалоговое окно Поиск решения (рис. 3.2).

В поле Установить целевую ячейку необходимо указать $F$4.

Установить переключатель Равной: максимальному значению, что означает максимизацию значения целевой функции.

В поле Изменяя ячейки указать диапазон ячеек, в которые необходимо будет поместить значения объемов производства для каждого вида продукции, т.е. необходимо указать диапазон $B$3:$D$3.

Рис. 3.2. Диалоговое окно Поиск решения.

В поле Ограничения: вводим ограничения для расчета, для чего необходимо нажать кнопку Добавить и в появившемся диалоговом окне заполнить параметры ограничения для каждого неравенства.

В поле Ссылка на ячейку выбрать ячейку, содержащую формулу левой части соответствующего неравенства, т.е. для первого неравенства выбрать ячейку $E$8, знак ограничения ставим в соответствии с математической модели. В поле Ограничение необходимо ввести имя ячейки, содержащей значение запасов ресурса 1, ячейку $F$8. Процедуру повторяем для каждого неравенства.

Нажимаем кнопку Параметры, откроется диалоговое окно Параметры поиска решения. В диалоговом окне необходимо установить параметры, как показано на рис. 3.3. Нажимаем кнопку OK и возвращаемся в диалоговое окно Поиск решения. В диалоговом окне Поиск решения нажимаем кнопку Выполнить. Если оптимальное решение существует, на экран будет выведен следующий диалог (рис. 3.4). Диалог свидетельствует об успешном поиске оптимального решения.

Рис. 3.3. Диалоговое окно Параметры поиска решения.

Предложенное Сохранить найденное значение означает, что найденные значения объемов производства х₁, х₂, х₃, максимизирующие целевую функцию прибыли будут помещены в соответствующие ячейки B3:D3.

Восстановить исходные значения – означает отмену проведенного расчета. Если решение найти не удалось, то пользователю будет выведен диалог о неуспешной попытке поиска оптимального решения.

Результат расчета представлен на следующем рис. 3.5. Из рисунка видно, что максимальная прибыль составит 2000 денежных единиц, при этом необходимо запланировать выпуск Продукции 2 в объеме 20 единиц, а Продукцию 2 и Продукцию 3 не производить вовсе в условиях установленных ограничений на использование ресурсов.

Рис. 3.4. Диалоговое окно Результат поиска решения.

Рис. 3.5. Результат решения задачи.