Понижение степени подынтегральной функции
Данный
приём работает, когда подынтегральные
функции нафаршированы синусами и
косинусами в чётных степенях. Для
понижения степени используют
тригонометрические формулы
,
и
,
причем последняя формула чаще используется
в обратном направлении:
.
Пример 7
Найти
неопределенный интеграл.
Решение:
В
принципе, ничего нового здесь нет, за
исключением того, что мы применили
формулу
(понизив
степень подынтегральной функции).
Обратите внимание, что я сократил
решение. По мере накопления опыта
интеграл от
можно
находить устно, это экономит время и
вполне допустимо при чистовом оформлении
заданий. В данном случае целесообразно
не расписывать и правило
,
сначала устно берем интеграл от 1, затем
– от
.
Пример 8
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ – в конце урока.
Таки обещанное повышение степени:
Пример 9
Найти
неопределенный интеграл.
Сначала решение, потом комментарии:
(1) Готовим подынтегральную функцию для применения формулы .
(2) Собственно применяем формулу.
(3) Возводим знаменатель в квадрат и выносим константу за знак интеграла. Можно было поступить несколько иначе, но, на мой взгляд, так удобнее.
(4)
Используем формулу
(5) В третьем слагаемом снова понижаем степень, но уже с помощью формулы .
(6)
Приводим подобные слагаемые (здесь я
почленно разделил
и
выполнил сложение
).
(7) Собственно берём интеграл, правило линейности и метод подведения функции под знак дифференциала выполняем устно.
(8) Причесываем ответ.
! В неопределенном интеграле нередко ответ можно записать несколькими способами
В
только что рассмотренном примере
окончательный ответ
можно
было записать иначе – раскрыть скобки
и даже это сделать еще до интегрирования
выражения, то есть вполне допустима
следующая концовка примера:
Вполне возможно, что такой вариант даже удобнее, просто я объяснил так, как сам привык решать). Вот еще один характерный пример для самостоятельного решения:
Пример 10
Найти
неопределенный интеграл.
Это пример решается двумя способами, и у Вас могут получиться два совершенно разных ответа (точнее говоря, они будут выглядеть совершенно по-разному, а с математической точки зрения являться эквивалентными). Скорее всего, Вы не увидите наиболее рациональный способ и помучаетесь с раскрытием скобок, использованием других тригонометрических формул. Наиболее эффективное решение приведено в конце урока.
Подытоживая
параграф, сделаем вывод: любой интеграл
вида
,
где
и
–
чётные числа, решается методом
понижения степени подынтегральной
функции.
На практике мне встречались
интегралы с 8 и 10 степенями, решать их
ужасный гемор приходилось,
понижая степень несколько раз, в
результате чего получались длинные-длинные
ответы.
Метод замены переменной
Как уже упоминалось в статье Метод замены переменной в неопределенном интеграле, основной предпосылкой для использования метода замены является тот факт, что в подынтегральном выражении есть некоторая функция и её производная : (функции , не обязательно находятся в произведении)
Пример 11
Найти
неопределенный интеграл.
Смотрим
в таблицу производных и замечаем формулы
,
,
то есть, в нашем подынтегральном выражении
есть функция и её производная. Однако
мы видим, что при дифференцировании
косинус и синус взаимно превращаются
друг в друга, и возникает вопрос: как
выполнить замену переменной и что же
обозначать за
–
синус или косинус?! Вопрос можно решить
методом научного тыка: если мы неправильно
выполним замену, то ничего хорошего не
получится.
Общий ориентир: в похожих случаях за нужно обозначить функцию, которая находится в знаменателе.
Прерываем
решение и проводим замену
В
знаменателе у нас всё хорошо, всё зависит
только от
,
теперь осталось выяснить, во что
превратится
.
Для
этого находим дифференциал
:
Или,
если короче:
Из
полученного равенства по правилу
пропорции выражаем нужное нам выражение:
Итак:
Теперь
всё подынтегральное выражение у нас
зависит только от
и
можно продолжать решение
Готово. Напоминаю, что цель замены – упростить подынтегральное выражение, в данном случае всё свелось к интегрированию степенной функции по таблице.
Я не случайно так подробно расписал этот пример, это сделано в целях повторения и закрепления материалов урока Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
А сейчас два примера для самостоятельного решения:
Пример 12
Найти неопределенный интеграл.
Пример 13
Найти неопределенный интеграл.
Полные решения и ответы в конце урока.
Пример 14
Найти неопределенный интеграл.
Здесь опять в подынтегральном выражении находятся синус с косинусом (функция с производной), но уже в произведении, и возникает дилемма – что же обозначать за , синус или косинус?
Можно попытаться провести замену методом научного тыка, и, если ничего не получится, то обозначить за другую функцию, но есть:
Общий ориентир: за нужно обозначить ту функцию, которая, образно говоря, находится в «неудобном положении».
Мы
видим, что в данном примере студент
косинус «мучается» от степени, а синус
– свободно так сидит, сам по себе.
Поэтому
проведем замену:
Если у кого остались трудности с алгоритмом замены переменной и нахождением дифференциала , то следует вернуться к уроку Метод замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 15
Найти неопределенный интеграл.
Анализируем подынтегральную функцию, что нужно обозначить за ? Вспоминаем наши ориентиры: 1) Функция, скорее всего, находится в знаменателе; 2) Функция находится в «неудобном положении».
Кстати, эти ориентиры справедливы не только для тригонометрических функций.
Под
оба критерия (особенно под второй)
подходит синус, поэтому напрашивается
замена
.
В принципе, замену можно уже проводить,
но сначала неплохо было бы разобраться,
а что делать с
?
Во-первых, «отщипываем» один косинус:
мы
резервируем под наш «будущий» дифференциал
А
выражаем
через синус с помощью основного
тригонометрического тождества:
Вот
теперь замена:
Готово.
Общее правило: Если в подынтегральной функции одна из тригонометрических функций (синус или косинус) находится в нечетной степени, то нужно от нечетной степени «откусить» одну функцию, а за – обозначить другую функцию. Речь идет только об интегралах, где есть косинусы и синусы.
В рассмотренном примере в нечетной степени у нас находился косинус, поэтому мы отщипнули от степени один косинус, а за обозначили синус.
Пример 16
Найти неопределенный интеграл.
Степени идут на взлёт =). Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.