Интегрирование сложных тригонометрических функций
Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.
На
уроке Интегралы
от тригонометрических функций
мы разобрали интеграл от тангенса в
квадрате. На уроке Как
вычислить площадь фигуры? в
примере 10 фигурировал тангенс в кубе.
В том примере для нахождения интеграла
от тангенса в кубе мы применяли
тригонометрическую формулу
.
Интеграл от тангенса в четвертой, пятой
степени (редко в более высоких степенях)
решается с помощью этой же формулы!
Пример 15
Найти
неопределенный интеграл
Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:
(1)
Готовим подынтегральную функцию к
применению формулы.
(2) Для одного из
множителей используем формулу
(3)
Раскрываем скобки и сразу же используем
свойство линейности неопределенного
интеграла.
(4) В первом интеграле
используем метод
подведения функции под знак дифференциала.
Во втором интеграле еще раз используем
формулу
,
в данном случае
.
(5)
Берём все три интеграла и получаем
ответ.
Пример 16
Найти
неопределенный интеграл
Это
пример для самостоятельного решения.
Для котангенса существует аналогичная
формула:
.
Полное решение и ответ в конце урока.
Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.
На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!
Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:
Пример 17
Найти
неопределенный интеграл
Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:
(1)
Используем тригонометрическую формулу
синуса двойного угла
.
(2)
Проводим искусственное преобразование:
В знаменателе делим и умножаем на
.
(3)
По известной формуле в знаменателе
превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим
функцию под знак дифференциала.
(5)
Берём интеграл.
Пара простых примеров для самостоятельного решения: Пример 18
Найти
неопределенный интеграл
Указание:
Самым первым действием следует
использовать формулу приведения
и
аккуратно провести аналогичные
предыдущему примеру действия.
Пример 19
Найти
неопределенный интеграл
Ну, это совсем простой пример.
Полные решения и ответы в конце урока.
Думаю,
теперь ни у кого не возникнет проблем
с интегралами:
и
т.п.
В
чём состоит идея метода? Идея состоит
в том, чтобы с помощью преобразований,
тригонометрических формул организовать
в подынтегральной функции только
тангенсы и производную тангенса
.
То есть, речь идет о замене:
.
В Примерах 17-19 мы фактически и применяли
данную замену, но интегралы были настолько
просты, что дело обошлось эквивалентным
действием – подведением функции под
знак дифференциала.
Примечание: аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести и для котангенса.
Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены: Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное число.
Для
интеграла
–
целое отрицательное число.
Для
интеграла
–
целое отрицательное число.
Для
интеграла
–
целое отрицательное число.
Рассмотрим пару более содержательных примеров на это правило:
Пример 20
Найти
неопределенный интеграл
Сумма
степеней синуса и косинуса
:
2 – 6 = –4 – целое отрицательное число,
значит, интеграл можно свести к тангенсам
и его производной:
(1)
Преобразуем знаменатель.
(2) По
известной формуле получаем
.
(3)
Преобразуем знаменатель.
(4) Используем
формулу
.
(5)
Подводим функцию под знак дифференциала.
(6)
Проводим замену
.
Более опытные студенты замену могут и
не проводить, но все-таки лучше заменить
тангенс одной буквой – меньше риск
запутаться.
Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.
Пример 21
Найти
неопределенный интеграл
Это пример для самостоятельного решения.
Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)
Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:
Пример 22
Найти
неопределенный интеграл
В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:
Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.
Пара творческих примеров для самостоятельного решения:
Пример 23
Найти
неопределенный интеграл
Пример 24
Найти
неопределенный интеграл
Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока
У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.
Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов: