Р ис. 2.10 Функция распределения времени пребывания
. (2.144)
Здесь
dN(t)
– количество элементов потока, время
пребывания которых в аппарате от t
до t+dt
; N
– общее количество выделенных элементов
в потоке. Среднее время пребывания
элементов в потоке
(Va
– объем
аппарата,
-
объемный расход) может быть найдено:
. (2.145)
Наиболее вероятное время пребывания элемента в аппарате tВ соответствует максимальному значению f(t).
На практике удобнее использовать безразмерное время пребывания Q и безразмерную функцию распределения f*(Q) :
, 
. (2.146)
2.4.2 Математическое моделирование структуры потоков
Наиболее корректной математической моделью структуры потоков в аппарате является исчерпывающее описание. Однако решение уравнений Навье – Стокса с условиями однозначности для большинства случаев невозможно. Поэтому на практике идут по пути упрощения модели, используя для характеристики структуры потока функцию распределения времени пребывания элементов потока в аппарате. Разумеется, f*(Q) является далеко не полной характеристикой движения, хотя и достаточной для интегральной оценки работы аппарата.
Можно выделить две идеализированные модели, характеризующие предельные ситуации: идеальное вытеснение и идеальное смешение, а также более реалистичные модели промежуточного типа - ячеечная и диффузионная модели.
2.4.2.1 Модель идеального вытеснения (мив)
В аппарате частицы потока движутся параллельно друг другу с одинаковой скоростью wX . Время пребывания в аппарате всех элементов потока одинаково. Введем понятие концентрации меченых элементов потока в аппарате. Средняя концентрация меченых элементов потока в аппарате определяется как:
, (2.147)
где NM - количество помеченных элементов, Va – объем аппарата.
Рис. 2.11 Модель идеального вытеснения
Исходное уравнение для МИВ получено из уравнения нестационарной конвективной диффузии (2.40):
. (2.148)
Результаты решения уравнения (2.148) представлены в безразмерной форме на рис. 2.12.
Р ис. 2.12 Вид функции распределения f*(q) для мив
Поскольку
все элементы движутся с одинаковой
скоростью wX
, то у них одинаковое время пребывания
в аппарате, совпадающее с
. Поэтому
.
Наиболее близка к МИВ структура турбулентного потока, движущегося по трубе при l/d>>1, цилиндрические аппараты небольшого диаметра, но значительной высоты, заполненные зернистым материалом.
2.4.2.2 Модель идеального смешения (мис)
Предполагается, что любая порция входящего в аппарат меченых элементов потока мгновенно и равномерно перемешивается во всем объеме. Таким образом, концентрация меченых элементов потока одинакова во всех точках аппарата. По аналогии с (2.31) (источника нет) можно записать:
Рис. 2.13 Модель идеального смешения (схема потока)
, (2.149)
где
– количество меченых элементов потока,
входящих в аппарат и выходящих из него
за единицу времени.
При
любых значениях t>0
, входа меченых элементов в аппарат не
будет, т.е.
.
Тогда
. (2.150)
Имея,
в виду
получим:
и
разделяя переменные:
. (2.151)
Интегрируя уравнение (2.151) с начальными условиями С(Q)=С0 получим:
. (2.152)
Переходя, к безразмерной функции распределения имеем:
. (2.153)
На рис. 2.14 изображена зависимость f*(Q) от Q по формуле (2.153).