2.3.2.3 Подобие тепловых процессов

Для полного описания конвективного переноса теплоты необходимо присоединить к уравнению Фурье-Кирхгофа уравнение Навье-Стокса и неразрывности, а также алгебраическое уравнение зависимости вязкости от температуры. Однако, это трудно разрешимая задача. Поэтому рассмотрим подобие.

Критерии подобия тепловых процессов выводятся из уравнения Фурье-Кирхгофа:

. (2.113)

Преобразуем уравнение Фурье-Кирхгофа формальным, но простым способом, отбрасывая знаки математических операторов:

(I), , (II)

. (III)

Далее, разделив одну часть уравнения на другую, находим критерии подобия.

, (IV)

. (2.114)

Критерий Фурье характеризует распространение теплоты теплопроводностью при изменении температуры во времени, является аналогом критерия гомохронности Ho .

, . (2.115)

Критерий Пекле Pe характеризует отношение между интенсивностью переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью в движущемся потоке.

Рассмотрим подобие граничных условий.

Тепловой поток на границе раздела фаз можно выразить с помощью уравнения Фурье:

. (2.116)

Тот же поток можно выразить в виде линейной зависимости от разности температур на границе и в ядре потока жидкости

, (2.117)

где α – коэффициент теплоотдачи. Тогда получим:

. (2.118)

Проведя формальное преобразование (2.118) имеем:

, (I) , (II)

,

. (2.119)

Критерий Нуссельта Nu характеризует отношение суммарного переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью (т.е. теплоотдачей) к теплоте , передаваемой теплопроводностью.

Для подобия процессов теплообмена необходимо , , .

Кроме того, необходимым условием подобия процессов переноса теплоты является соблюдение и гидродинамического подобия. Тогда критериальное уравнение теплоотдачи имеет вид:

, (2.120)

или

. (2.121)

Критерий Эйлера в уравнение не вошел, т.к. Eu=f(Re) . Преобразование критерия Пекле дает:

. (2.122)

Критерий Прандтля Pr=ν/a – характеризует подобие физических свойств теплоносителей. Для газов Pr≈1, жидкостей Pr=10 - 100 .

Для установившегося процесса теплообмена:

. (2.123)

При вынужденной теплоотдаче критерием Fr можно пренебречь:

. (2.124)

Обычно критериальное уравнение представляют в виде степенной зависимости:

. (2.125)

Здесь А, а_1-6 – экспериментально определяемые коэффициенты.

2.3.2.4 Подобие массообменных процессов

Критерии подобия в бинарных системах находятся из уравнения нестационарной конвективной диффузии (без источниковых членов):

. (2.126)

Преобразуем уравнение (2.126) формальным способом и разделив одну часть уравнения на другую получим:

, (I) , (II)

, (III)

, (IV)

. (2.127)

Диффузионный критерий Фурье характеризует подобие неустановившихся процессов массообмена.

, . (2.128)

Диффузионный критерий Пекле характеризует отношение переноса вещества конвекцией к молекулярному переносу в сходственных точках.

Часто заменяют отношением:

, . (2.129)

Диффузионный критерий Прандтля выражает постоянство отношений физических свойств веществ в сходственных точках подобных систем. По существу Pr_д характеризует отношение профиля скоростей (через ν) к профилю концентраций (через D_i,j), т.е. отношение толщины гидродинамического и диффузионного пограничного слоев. Иногда Pr_д называют критерием Шмидта Sc .

Рассмотрим подобие граничных условий. Поток массы через границу раздела фаз (конвективный механизм отсутствует) можно записать:

. (2.130)

Этот же поток переносится из ядра потока к поверхности раздела фаз:

. (2.131)

Тогда получим:

. (2.132)

Проводя, как и для тепловых процессов, формальные преобразования получим:

, (I) , (II)

.

. (2.133)

Диффузионный критерий Нуссельта характеризует отношение скорости переноса вещества (конвективного и молекулярного) к молекулярному переносу. Иногда называют Nu_д критерием Шервуда Sh .

Для подобия процессов массообмена необходимо равенство значений критериев , , .

Для соблюдения подобия процессов массоотдачи необходимо также соблюдение гидродинамического подобия. Тогда можно записать:

. (2.134)

По смыслу Nu_д безразмерный коэффициент массоотдачи и является искомой величиной. Поэтому можно записать:

. (2.135)

Для установившегося процесса Fo_д = 0, Ho = 0:

. (2.136)

Критериальное уравнение процесса массоотдачи обычно представляется в виде степенной зависимости:

. (2.137)

Здесь А, а_1-6 – экспериментально определяемые коэффициенты.

Подобие гидромеханических, тепловых и массообменных процессов были рассмотрены для случая ламинарного движения среды с постоянными теплофизическими свойствами. Турбулентный режим не приводит к появлению новых критериев подобия. При турбулентном режиме меняется лишь вид зависимости между критериями.