2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в «обычном» виде: (при подборе не забываем посмотреть Раздел IV справочной таблицы).
Выясним,
чему равны коэффициенты 
.
Найдем
производные:
Подставим 
и
в
левую часть неоднородного уравнения:
(После
подстановки и максимальных упрощений
приписываем правую часть: 
)
Из
последнего равенства 
составим
и решим систему:
Здесь первое уравнение умножено на 4, а затем проведено почленное вычитание: из второго уравнения я почленно вычел первое уравнение. Если метод не знаком или позабылся, смотрите урок Как решить систему линейных уравнений? Естественно, при решении системы не возбраняется применять «школьный» метод подстановки, другое дело, что в похожей ситуации это обычно не очень выгодно и удобно.
Таким
образом, подобранное частное решение: 
.
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее
решение: 
Пример 9
Найти
общее решение неоднородного уравнения
Это пример для самостоятельного решения. Будьте внимательны при подборе частного решения ! Полное решение и ответ в конце урока.
В конце урока обещанные новогодние подарки. Что в новогодние праздники приносит Дедушка Мороз студентам? На этот вопрос ответ знаю только я. В Новый год Дедушка Мороз принесёт вам большой мешок неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. У меня их много.
На
самом деле очень хотелось рассмотреть
и другие диффуры, но таки статья должна
укладываться в разумные размеры,
чтобы Коши
действительно не зашептал не
обиделись поисковики, Яшенька, бедный,
и так у нас очень глючный. Поэтому
предлагаю для самостоятельного решения
еще несколько уравнений, которые
показались мне интересными, но не вошли
в «основную сетку» урока.
Для следующих примеров полного решения не будет, будут только готовые ответы в конце урока. Но, даже из одних ответов вы сможете «вытащить» информацию, например, в каком же виде надо выполнить подбор частного решения. Среди предлагаемых ДУ есть как несложные диффуры, так и уравнения повышенной сложности.
Придерживайтесь алгоритма, будьте внимательны и успешного вам дифференцирования!
Пример 10
Найти
общее решение неоднородного уравнения
Пример 11
Найти
общее решение неоднородного уравнения
Пример 12
Найти
частное решение неоднородного уравнения,
соответствующее заданным начальным
условиям.
, 
,
Пример 13
Найти
частное решение неоднородного уравнения,
соответствующее заданным начальным
условиям.
, 
, 
Пример 14
Найти общее решение неоднородного уравнения
Пример 15
Найти общее решение неоднородного уравнения
Должен сказать, что примеры №№13-15 достаточно сложны в техническом плане, при подборе частного решения появляются громоздкие производные, которые еще и нужно подставлять в левую часть уравнения. Но, как оптимист, предполагаю, что данные уравнения сможет решить не такой уж маленький процент студентов!
Наверное,
многие, ознакомившись с методическим
материалом Подбор
частного решения неоднородного уравнения,
заметили, что в правой части рассматривается
ограниченный класс функций 
:
многочлены, экспоненты, синусы, косинусы.
Как быть, если в правой части находятся другие функции, например, тангенс или какая-нибудь дробь? И в таких случаях существует метод решения! Подбор не прокатывает, и приходится использовать очень мощный и универсальный метод вариации произвольных постоянных.
Happy New Year!
Решения и ответы:
Пример
2: Решение:
1)
Найдем общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Составим
и решим характеристическое
уравнение:
,
–
различные действительные корни, один
из которых равен нулю, поэтому общее
решение:
2)
Частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде: 
(см.
РазделII Справки!!!).
Найдем
первую и вторую производную:
Подставим
и
в
левую часть неоднородного
уравнения:
Приравняем
коэффициенты при соответствующих
степенях, составим и решим систему. Из
последнего равенства:
Таким
образом: 
3)
Общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее
решение: 
Быстрая
проверка: Очевидно, что корни
характеристического уравнения найдены
правильно, поэтому с первой частью
ответа 
всё
хорошо. Проверим, правильно ли найдено
частное решение
.
Найдем первую и вторую
производную:
Подставим 
и 
в
левую часть исходного уравнения:
–
получена правая часть исходного
уравнения, значит, частное решение
тоже
найдено правильно
Пример
4: Решение:
1) Найдем
общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Составим
и решим характеристическое
уравнение:
–
сопряженные комплексные корни, поэтому
общее решение:
.
2)
Частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде: 
(смотрим
раздел IV
справки).
Подставим
,
,
в
левую часть неоднородного уравнения:
Таким
образом, частное решение: 
3)
Общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Пример
5: Решение:
1)
Найдем общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Составим
и решим характеристическое уравнение:
–
сопряженные, чисто мнимые комплексные
корни, поэтому общее решение:
.
2)
Частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде: 
(смотрим
раздел V
справки).
Подставим
и
в
левую часть неоднородного
уравнения:
Приравняем
коэффициенты при соответствующих
степенях, составим и решим систему:
Таким
образом: 
.
3)
Запишем общее решение:
Ответ: общее
решение:
Пример
7: Решение:
1) Найдем
общее решение соответствующего
однородного уравнения:
–
кратные действительные корни
Общее
решение: 
2) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: (предварительно смотрим Раздел III справочной таблицы).
Подставим
и
в
левую часть неоднородного
уравнения:
Составим
и решим систему:
В
ходе решения данной системы использован
метод почленного сложения уравнений
системы, освежить материал можно на
странице Как
решить систему линейных уравнений?
Таким
образом: 
.
3)
Общее решение неоднородного уравнения:
4)
Найдем частное решение, соответствующее
заданным начальным условиям:
Ответ: частное
решение: 
Проверка: я пару лет назад уже выполнил полную проверку на черновике =) Как дела у вас?
Пример
9: Решение:
1)
Найдем общее решение соответствующего
однородного уравнения:
Характеристическое
уравнение:
–
сопряженные, чисто мнимые комплексные
корни, поэтому общее решение:
.
2)
Частное решение неоднородного уравнения
ищем в виде: 
(Смотрим
Раздел V
справочного материала).
Подставим
и
в
левую часть неоднородного
уравнения:
Составим
и решим систему:
Кстати,
почему 
?
Потому что в правой части отсутствует
синус, формально правую часть можно
было записать так: 
Таким
образом: 
.
3)
Составим общее решение неоднородного
уравнения:
Ответ: общее
решение: 
Пример
10:
Ответ: общее
решение: 
Пример
11:
Ответ: общее
решение: 
Пример
12:
Ответ: частное
решение: 
Пример
13:
Ответ: частное
решение: 
Пример
14:
Ответ: общее
решение: 
Пример
15:
Ответ: общее
решение: 