§2. Прямая в пространстве

2.1. Уравнения прямой в пространстве

2.1.1. В 2.2.2 мы отметили, что если выполнено хотя бы одно из условий ≠ , ≠ , ≠ , то плоскости П₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и П₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 пересекаются по прямой. Таким образом, пара уравнений A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0 однозначно определяет плоскость. Поэтому система

(2.1)

называется общими уравнениями прямой.

2.1.2. Как и на плоскости, в пространстве прямая задаётся параметрическими

(2.2)

и каноническими

= = (2.3)

уравнениями. При этом прямая проходит через точку N(x₀, y₀, z₀) параллельно вектору =(, , ),  направляющий вектор прямой.

2.1.3. Замечания.

1) Из уравнений (2.1) можно прийти к уравнению (2.3) следующим образом: в качестве направляющего вектора прямой берём =[ , ] (векторное произведение векторов и ), где и  нормали соответственно П₁ и П₂, а в качестве точки N(x₀, y₀, z₀)  некоторое частное решение системы (2.1). Обратный переход от (2.3) к (2.1) получаем сразу:

2) Как и в случае прямой на плоскости, в каноническом уравнении допускается, чтобы хотя бы один из параметров в знаменателе (но не все три одновременно) равнялся нулю.

3) если прямая проходит через точки N(x₀, y₀, z₀) и M(x₁, y₁, z₁), то каноническое уравнение записывается в виде

= = . (2.4)

Уравнение (2.4) также называется уравнением прямой, проходящей через две точки.

2.2. Взаимное расположение прямых

2.2.1. Пусть прямые

l₁: = = и l₂: = =

заданы своими каноническими уравнениями. Тогда:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда = = ;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда ₁₂+₁₂+₁₂=0.

в) угол между ними можно найти из соотношения

cos( )= . (2.6)

2.2.2. Из 2.2.1 вытекает, что если выполнено хотя бы одно из условий ≠ , ≠ или ≠ , то прямые не параллельны. В частности, они могут скрещиваться или пересекаться. Это можно определить, решая систему

которая равносильна системе

Если эта система не совместна, то прямые скрещиваются, а если совместна, то пересекаются по единственной точке в случае определённости системы и совпадают в случае неопределённости.

2.3. Взаимное расположение прямой и плоскости

2.3.1. Пусть l: = = и П₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0  соответственно прямая и плоскость в пространстве, то:

а) они параллельны тогда и только тогда, когда A+B+C=0;

б) они перпендикулярны тогда и только тогда, когда = = .

в) угол между ними можно найти из соотношения

sin( )= . (2.7)

2.3.2. Для того, чтобы найти множество точек пересечения прямой l и плоскости П (2.2.1), достаточно решить систему уравнений

(2.8)

Тогда:

а) прямая l и плоскость П пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда система (2.8) определённая;

б) прямая l принадлежит плоскости П тогда и только тогда, когда система (2.8) неопределённая;

в) прямая l и плоскость П не пересекаются тогда и только тогда, когда система (2.8) несовместная.

2.4. Упражнения.

1) Написать уравнение прямой в параметрическом и каноническом виде:

а)

б)

в)

Решение. а) Для того, чтобы написать уравнение прямой в параметрическом и каноническом виде, необходимо знать направляющий вектор и некоторую точку прямой. Направляющий вектор прямой ищем в виде векторного произведения нормалей и плоскостей П₁: 3x4y+5z8=0 и П₂: 2x+3y4z+2=0 соответственно: =(3; 4; 5), =(2; 3; 4),

=  + =6 +22 +17 ,

то есть =6 +22 +17  направляющий вектор прямой.

В качестве точки, через которую проходит прямая, возьмём точку с аппликатой z=0. Эта точка (x, y, 0) удовлетворяет уравнения обеих плоскостей:

Решая полученную систему, получаем искомую точку: .

Таким образом,

= = 

 соответственно параметрическое и каноническое уравнения прямой.

Ответ: = =  соответственно параметрическое и каноническое уравнения прямой.

2) Выяснить взаимное расположение прямых:

а) l₁: = = ; l₂: = = ;

l₃: = = ; l₄: = = .

б) l₁: = = ; l₂: = = ;

l₃: = = ; l₄: = = .

В случае, когда прямые ни параллельны, ни перпендикулярны, найти угол между ними.

Решение. а) l₁ и l₂: = = . Поэтому прямые l₁ и l₂ параллельны. Выясним, совпадают ли они. Для этого проверим, лежит ли произвольная точка одной прямой на другой прямой. Достаточно проверить для точки (3; 2; 1) из l₁: ≠ . Таким образом, прямые не имеют общих точек, то есть они не совпадают.

l₁ и l₃: ≠ и 42+(1)1+3(4)≠0. Поэтому прямые l₁ и l₃ ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними:

cos( )= = 0,214, ( )1,3552 (радиан).

Выясним, пересекаются прямые или скрещиваются. Для этого составим систему из уравнений прямых и решим её:



Преобразуем каждое уравнение системы для получения системы в стандартном виде:

=  (1)(x3)=4(y+1)  x+3=4y+8  x4y=0,

=  3(x3)=4(z1)  3x4z=5,

=  x1=2(y3)  x2y=5,

=  2x2=z+2  2xz=4.

Таким образом,

 

Эта система несовместна (почему?). Поэтому прямые l₁ и l₃ скрещиваются.

l₁ и l₄: 42+(1)5+3(1)=0. Поэтому прямые l₁ и l₄ перпендикулярны. Остаётся выяснить, пересекаются они или нет (выяснить самостоятельно!).

Аналогично исследуется взаимное расположение пар прямых (l₂, l₃), (l₂, l₄), (l₃, l₄) (довести до конца!).

Ответ: а) Прямые l₁ и l₂ параллельны, но не совпадают; прямые l₁ и l₃ скрещиваются под углом 1,3552 (радиан), прямые l₁ и l₄ перпендикулярны.

3) Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости П:

а) l: = = , П: 2x+5yz2=0;

б) l: = = , П: 4xy+3z+1=0;

в) l: = = , П: x+y3z2=0;

г) l: = = , П: 2x+yz2=0;

д) l: = = , П: 2x+y+4z3=0;

е) l: = = , П: 3xy2z4=0.

Решение. а) 42+(1)5+3(1)=0. Поэтому прямая и плоскость параллельны. Для выяснения наличия у них общей точки (и, как следствие, лежит ли прямая на плоскости), достаточно проверить, принадлежит ли некоторая точка прямой на плоскости. Через точку (3; 2; 1) проходит прямая l. Её координаты не удовлетворяют уравнениям плоскости: 23+5(2)12≠0. Поэтому точка не лежит на плоскости. В частности, прямая и плоскость общих точек не имеют.

б) = = . Поэтому прямая и плоскость перпендикулярны, в частности, пересекаются по единственной точке. Найдём эту точку пересечения:

 

Решение последней системы  .

в) ≠ и 21+11+(4)(3)≠0. Поэтому прямая и плоскость ни параллельны, ни перпендикулярны. Найдём угол между ними:

sin( )= = 0,9869,

arcsin 0,9869=( )1,4089 (радиан).

Остаётся найти точку пересечения прямой и плоскости, что предоставляется читателю.

Ответ: а) прямая и плоскость параллельны и не пересекаются;

б) прямая и плоскость перпендикулярны,  их точка пересечения;

в) прямая и плоскость пересекаются под углом 1,4089 радиан.

Приложения

Приложение 1